Cho đường tròn (O;5cm), vẽ dây BC không đi qua tâm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M. Đường thẳng đi qua M cắt đường tròn tâm O tại N và P, sao cho O nằm trong góc PMC và N nằm giữa M và P. Trên cung...

Phạm Ngọc

a) Để chứng minh góc ADE = góc ACB, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình học đường tròn và hình tam giác.

Vì O là tâm của đường tròn, nên OA là đường phân giác của góc NPA (do A là điểm chính giữa cung NP). Tương tự, OB là đường phân giác của góc MPB.

Như vậy, ta có:

\[

\angle AOM = \angle POM = \angle MON

\]

\[

\angle BOM = \angle NOM = \angle MNO

\]

Vì MN cắt góc PMC tại M, nên góc PMC = góc PMN + góc NMO = góc PNM + góc NMO. Tương tự, góc MCB = góc MBC + góc BMC = góc MBN + góc NMO. 

Vậy ta có:

\[

\angle PMC = \angle PNM + \angle NMO = \angle MCB = \angle MBN + \angle NMO

\]

Do đó, ∠PNM=∠MBN.

Từ đó, ta có:

\[

\angle ADE = \angle ADM + \angle EDM = \angle ANM + \angle ENM = \angle AOM + \angle BOM = \angle ACB

\]

Vậy góc ADE = góc ACB.

b) Vì MO = căn 73cm, ta có MO=√73 (đơn vị cm). Theo định lí hình học, ta có:

\[

MB \cdot MC = MO^2 - \frac{BC^2}{4}

\]

\[

MB \cdot MC = (\sqrt{73})^2 - \frac{(8)^2}{4}

\]

\[

MB \cdot MC = 73 - 16

\]

\[

MB \cdot MC = 57

\]

Nhưng ta cũng biết rằng MC=8 (đơn vị cm), do BC là đường kính của đường tròn.

Vậy, MB=578=578 (đơn vị cm).

c) Để chứng minh MD⋅ME=MN⋅MP, ta sẽ sử dụng tính chất của các tứ giác nội tiếp.

Như đã chứng minh ở câu a), ta có:

\[

\angle ADE = \angle ACB

\]

Do đó, tứ giác ADEB và ABCD là tứ giác nội tiếp.

Tương tự, ta cũng có tứ giác ADEC và ABCE là tứ giác nội tiếp.

Từ tính chất của tứ giác nội tiếp, ta có:

\[

MD \cdot ME = MB \cdot MC

\]

\[

MN \cdot MP = MB \cdot MC

\]

Vậy, ta có: MD⋅ME=MN⋅MP.