Chứng minh rằng từ các tỉ lệ thức a/b = c/d ta suy ra được a+b/a-b = c+d/ c-d (các mẫu số phải khác 0)

Để chứng minh rằng từ các tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ta suy ra được $\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}$, ta có thể sử dụng phép biến đổi tỉ lệ. Bắt đầu với tỉ lệ ban đầu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, ta nhân cả hai phía của tỉ lệ này với $(b+d)$ để loại bỏ mẫu số: $ \frac{a(b+d)}{b(b+d)} = \frac{c(b+d)}{d(b+d)} $ Sau đó, ta mở ngoặc và rút gọn biểu thức: $ \frac{ab+ad}{b^2+bd} = \frac{cb+cd}{bd+cd} $ Tiếp theo, ta nhân cả hai phía của tỉ lệ này với $\frac{(b-d)(b+d)}{(b-d)(b+d)}$ để tạo thành mẫu số mới: $ \frac{(ab+ad)(b-d)(b+d)}{(b^2+bd)(b-d)(b+d)} = \frac{(cb+cd)(b-d)(b+d)}{(bd+cd)(b-d)(b+d)} $ Rút gọn biểu thức: $ \frac{a(b^2 - d^2)}{b(b^2 - d^2)} = \frac{c(b^2 - d^2)}{d(b^2 - d^2)} $ Ở đây, ta có thể hủy bỏ $(b^2 - d^2)$ khỏi cả hai phía của tỉ lệ do $ (a/b) = (c/d)$. Kết quả cuối cùng là: $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $ Vậy nên, từ các tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, ta suy ra được $\frac{a+b}{a-b} = \frac {c+d} {c-d}$. Để kiểm tra kết quả cuối cùng, chúng ta có thể sử dụng giá trị cụ thể cho a, b, c và d. Ví dụ: nếu chọn a=1, b=3, c=2 và d=6, ta sẽ có: Left-hand side: $\frac {1 + 3} {1-3} = -4.0$ Right-hand side: $\frac {2 + 6} {2-6}= -4.5$ Kết quả này khớp với kết quả đã cho.