Giúp mình với!

cùng cắt nhau tại một điểm trên $(P):~y=\frac 14x^2$ có hoành độ là 2 Đây là một bài toán thuộc phần hình học trong đại số, cụ thể là tìm điểm chung của đường thẳng và parabol. Bài toán yêu cầu tìm các đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên parabol $(P):~y=\frac 14x^2$ có hoành độ là 2. Đầu tiên, ta xác định điểm trên parabol có hoành độ là 2. Thay $x=2$ vào phương trình của $(P)$, ta được: \[y = \frac{1}{4} * (2)^2 = 1\] Vậy điểm cần tìm là $(2,1)$. Giả sử phương trình của đường thẳng cần tìm là $d: y = mx + n$. Vì d cắt P tại (2,1) nên (2,1) phải thỏa mãn phương trình d. Ta có: \[1 = 2m + n \tag{1}\] Vì d cắt P nên d không song song với tiếp tuyến của P tại (2,1). Phương trình tiếp tuyến của P tại (x,y) có dạng $y' = mx - y + \frac{1}{4}x^3$, với $y' = \frac{1}{4}*3*x^2$ là đạo hàm của y theo x. Thay (x,y) = (2,1) vào ta được: \[y' = 1\] Vậy phương trình tiếp tuyến của P tại (2,1) là $y = x - 1 + \frac{1}{4}*8 = x + 1$. Hệ số góc m của tiếp tuyến này là 1. Vì d không song song với tiếp tuyến nên m khác 1. Từ (1) ta có $n = 1 - 2m$. Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $d: y = mx + 1 - 2m$, với m khác 1. Cho hệ phương trình: $\left\{\begin{array}lax-y=2\\x+ay=3\end{array}\right.$ a) Giải hệ khi $a=\sqrt3$ b) Tìm a để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn điều kiện $x+\sqrt2y=0$ Đây là một bài toán về hệ phương trình tuyến tính hai ẩn số. Chúng ta sẽ giải nó theo từng phần. a) Giải hệ khi $a=\sqrt3$ Hệ phương trình ban đầu trở thành: $\left\{\begin{array}l\sqrt3x-y=2\\x+\sqrt3y=3\end{array}\right.$ Chúng ta có thể giải hệ này bằng cách cộng hai phương trình lại với nhau: $(\sqrt3 + 1)x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{(\sqrt3 + 1)}$ Sử dụng công thức rút gọn, ta có: $x = \frac{5(\sqrt3 - 1)}{(3 - 1)} = \frac{5(\sqrt3 - 1)}{2}$ Thay $x$ vào phương trình thứ hai để tìm $y$: $x + \sqrt3y = 3 \Rightarrow y = \frac{3 - x}{\sqrt3} = \frac{6 - (5(\sqrt3 - 1))}{2\sqrt3} = \frac{(6-5\sqrt3+5)}{2\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{2}$ Vậy nghiệm của hệ khi $a=\sqrt3$ là $(x; y) = (\frac{5(\sqrt3 - 1)}{2}; \frac{\sqrt3}{2})$ b) Tìm a để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn điều kiện $x+\sqrt2y=0$ Đặt nghiệm của hệ là $(x; y) = (u; v)$, ta có: $\left\{\begin{array}lau-v=2\\u+av=3\end{array}\right.$ Và $u + \sqrt2v = 0 \Rightarrow u = -\sqrt2v$ Thay $u$ vào hệ phương trình, ta được: $\left\{\begin{array}l-a\sqrt2v-v=2\\-\sqrt2v+av=3\end{array}\right.$ Từ phương trình thứ hai, ta tìm được $a = \frac{3 + \sqrt2v}{v}$ Thay $a$ vào phương trình thứ nhất, ta được: $-\frac{(3 + \sqrt2)v^2}{v} - v = 2$ Sắp xếp lại, ta được phương trình bậc hai: $(3 + \sqrt2)v^2 + v^3 - 2v = 0$ Giải phương trình này để tìm giá trị của $v$, sau đó thay vào biểu thức của $a$ để tìm giá trị của $a$. Xác định m để hệ phương trình $\left\{\begin{array}lx-y=m\\x^2+y^2=1\end{array}\right.$ có nghiệm duy nhất. Đây là một bài toán thuộc phần hệ phương trình. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị của m sao cho hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Bước 1: Thay phương trình thứ nhất vào phương trình thứ hai, ta được: $x^2 + (x - m)^2 = 1$ Mở rộng và sắp xếp lại, ta được: $2x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0$ Đây là một phương trình bậc hai với biến là x. Để có nghiệm duy nhất, delta của phương trình này phải bằng không. Bước 2: Tính delta: $\Delta = (-2m)^2 - 4*2*(m^2-1) = 4m^2 -8m^2 +8= -4m^2+8$ Đặt $\Delta =0$, ta được: $-4m^2+8=0$ Giải ra, ta được $m=\sqrt{2}$ hoặc $m=-\sqrt{2}$ Vậy, giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $\sqrt{2}$ hoặc $-\sqrt{2}$.