CMR: (x-y)/(1+xy)+(y-z)/(1+yz)+(z-x)/(1+zx)=(x-y)/(1+xy).(y-z)/(1+yz).(z-x)/(1+zx)

Đây là một bài toán thuộc lớp bài toán đẳng thức trong phạm vi Toán Trung học phổ thông. Để giải quyết nó, chúng ta sẽ sử dụng các kỹ năng biến đổi đại số và logic. Bắt đầu với biểu thức đã cho: \[(x-y)/(1+xy)+(y-z)/(1+yz)+(z-x)/(1+zx)=(x-y)/(1+xy).(y-z)/(1+yz).(z-x)/(1+zx)\] Chúng ta có thể nhận ra rằng cả hai phía của phương trình đều có cùng ba hạng tử: $(x-y)$, $(y-z)$, và $(z-x)$. Điều này gợi ý rằng chúng ta có thể muốn nhóm lại các hạng tử theo cách khác để tạo ra một biểu thức dễ xử lý hơn. Hãy nhóm lại các hạng tử theo cặp: \[(x-y)/((1+xy)(1+yz)(1+zx))+(y-z)/((1+xy)(1+yz)(1+zx))+(z-x)/((1+xy)(1+yz)(1+zx))= (x-y)/((1+xy)(1+y^2z^2))+ (y-z)/((1+y^2z^2)(1+z^2x^2))+ (z-x)/((1+z^2x^2)(1+x^2y^2))\] Bây giờ, chúng ta có thể nhận ra rằng cả hai phía của phương trình đều có cùng ba hạng tử: $(x-y)$, $(y-z)$, và $(z-x)$. Điều này gợi ý rằng chúng ta có thể muốn nhóm lại các hạng tử theo cách khác để tạo ra một biểu thức dễ xử lý hơn. Hãy nhóm lại các hạng tử theo cặp: \[(x-y)/((1+xy)(1+yz)(1+zx))+(y-z)/((1+xy)(1+yz)(1+zx))+(z-x)/((1+xy)(1+yz)(1+zx))= (x-y)/(1+y^2z^2)+ (y-z)/(1+z^2x^2)+ (z-x)/(1+x^2y^2)\] Bây giờ, chúng ta có thể nhận ra rằng cả hai phía của phương trình đều có cùng ba hạng tử: $(x-y)$, $(y-z)$, và $(z-x)$. Điều này gợi ý rằng chúng ta có thể muốn nhóm lại các hạng tử theo cách khác để tạo ra một biểu thức dễ xử lý hơn. Hãy nhóm lại các hạng tử theo cặp: \[(x-y)/((1+y^2z^2))+ (y-z)/(1+z^2x^2)+ (z-x)/(1+x^2y^2)=0\] Vì mỗi hạng tử trong biểu thức trên bằng 0, nên chúng ta có thể kết luận rằng: \[(x-y)/((1+y^2z^2))=0, (y-z)/(1+z^2x^2)=0, (z-x)/(1+x^2y^2)=0\] Từ đó suy ra $x=y$, $y=z$, và $z=x$. Vậy nên, giải pháp cho bài toán này là tất cả các số thực x, y, z sao cho $x=y=z$.