giúp mình với mọi người

Đây là một bài toán về đạo hàm trong giải tích và ứng dụng của đạo hàm trong thực tế. Chúng ta sẽ tiến hành giải từng phần. Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) $~y=(x^2-\frac2x+4\sqrt x)^3$ Sử dụng quy tắc chuỗi, ta có: $y' = 3(x^2-\frac2x+4\sqrt x)^2 \cdot (2x + \frac{2}{x^2} + \frac{2}{\sqrt{x}})$ b) $~y=2^x+\log_3(1-2x)$ Sử dụng quy tắc logarit và lũy thừa, ta có: $y' = \ln(2) \cdot 2^x - \frac{1}{\ln(3)} \cdot \frac{1}{1-2x}$ c) $~y=\frac{1-2x}{x^2+1}$ Sử dụng quy tắc phân số, ta có: $y' = -\frac{(1-2x)'(x^2+1)-(1-2x)(x^2+1)'}{(x^2+1)^{^{^{^{^{^{^{^{^{^{^{^{^{}}}}}}}}}}}}}$ $= -\frac{-4*x*(x^4+x)-(-4*x)}{(x^4+x)^{_{_{_{_{_{_{_{_{_{_{_}}}}}}}}}}}$ d) $~y=\sin2x+\cos^23x$ Sử dụng quy tắc chuỗi và quy tắc hàm lượng giác, ta có: $y' = 2\cos(2x) - 6\sin(3x)\cos(3x)$ e) $~y=3\tan(x+\frac\pi4)-2\cot(\frac\pi4-x)$ Sử dụng quy tắc hàm lượng giác, ta có: $y' = 3 \sec^2(x + \frac{\pi}{4}) + 2 \csc^2(\frac{\pi}{4} - x)$ Bài 4: Cho hàm số $f(x)=2x^3+1$ có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết: a) Hoành độ tiếp điểm $x_0=1$ Đạo hàm của hàm số là $f'(x)=6x^2$. Khi $x_0=1$, ta có $f'(1)=6$. Vậy, phương trình tiếp tuyến là: $y=f'(1)(x-1)+f(1)$ $=6*(x-1)+3$ b) Hệ số góc bằng 6. Nếu hệ số góc bằng 6, tức là đạo hàm bằng 6. Ta giải phương trình $f'(x)=6$, ta được nghiệm là $\sqrt{1}$ hoặc $-\sqrt{1}$. Chọn một nghiệm, ví dụ $\sqrt{1}$, ta có phương trình tiếp tuyến là: $y=f'(\sqrt{1})(x-\sqrt{1})+f(\sqrt{1})$ $=6*(x-1)+3$ c) Tung độ tiếp điểm bằng 17 Nếu tung độ tiếp điểm bằng 17, tức là giá trị của hàm số tại điểm tiếp xúc bằng 17. Ta giải phương trình $f(x)=17$, ta được nghiệm là $\sqrt[3]{8}$ hoặc $-\sqrt[3]{8}$. Chọn một nghiệm, ví dụ $\sqrt[3]{8}$, ta có phương trình tiếp tuyến là: $y=f'(\sqrt[3]{8})(x-\sqrt[3]{8})+f(\sqrt[3]{8})$ $=6*(x-2)+17$ Bài 5: Đây là một bài toán về việc áp dụng đạo hàm vào thực tế. Cầu vượt có hình parabol và chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường không vượt quá góc 10 độ. Để tính chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường, chúng ta cần biết rằng góc giữa phương tiếp xúc với mặt cầu và phương ngang là đạo hàm của hàm số tại điểm đó. Vì vậy, chúng ta cần tìm hàm số có đạo hàm không vượt quá 10 độ. Hình parabol có phương trình $y=ax^2$, trong đó a là hệ số. Đạo hàm của nó là $f'(x)=2ax$. Tại điểm x=0 (đỉnh của parabol), đạo hàm bằng 0, tức là góc giữa phương tiếp xúc và phương ngang bằng 0. Khi di chuyển ra xa từ điểm này, góc sẽ tăng lên nhưng không được vượt quá 10 độ. Vì vậy, chúng ta cần giải phương trình $f'(x)=\tan(10^\circ)$ để tìm khoảng cách từ điểm tiếp xúc đến trục y (đỉnh của parabol). Giải phương trình này, ta được $x=\frac{\tan(10^\circ)}{2a}$. Bây giờ, chúng ta biết rằng khoảng cách từ điểm tiếp xúc đến trục y là một nửa chiều dài của cây cầu, tức là 200 mét. Vậy nên $\frac{\tan(10^\circ)}{2a}=200$. Giải phương trình này cho a, ta được $a=\frac{\tan(10^\circ)}{400}$. Cuối cùng, chúng ta có thể tìm chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường bằng cách thay x=200 vào phương trình parabol: $y=a*200^2$. Thay a vào, ta được $y=\tan(10^\circ)*100$. Vậy chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường là $\tan(10^\circ)*100$ mét.