Câu 31:
[asy]
import three;
triple A = (0,0,0);
triple B = (1,0,0);
triple C = (1,1,0);
triple D = (0,1,0);
triple S = (0,0,sqrt(3)/3);
triple M = (0.5,0.5,0);
triple N = (0.5,0.5,sqrt(3)/6);
draw(B--C--D--B);
draw(S--B);
draw(S--C);
draw(S--D);
draw(M--N,dashed);
label("$A$",A,SW);
label("$B$",B,S);
label("$C$",C,E);
label("$D$",D,N);
label("$S$",S,E);
label("$M$",M,S);
label("$N$",N,W);
triple[] X = {A,B,C,D,S};
for (int i=0; i<5; ++i) {
dot(X[i]);
}
draw(X[0]--M,dashed);
draw(X[0]--N,dashed);
draw(X[4]--M,dashed);
draw(X[4]--N,dashed);
label("$\frac{a}{2}$",(X[0]+M)/2,S);
label("$a$",(X[0]+N)/2,W);
label("$\frac{\sqrt{3}a}{3}$",(X[4]+M)/2,S);
label("$\frac{\sqrt{14}a}{7}$",(X[4]+N)/2,W);
[/asy]
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) chính là độ dài đường cao hạ từ A của tứ diện
ASCD. Ta có thể tích tứ diện ASCD bằng $\frac 13$ lần thể tích khối chóp S.ABCD.
Thể tích khối chóp S.ABCD là $\frac 13.SA.S_{ABCD} = \frac 13.\frac{\sqrt3a}3.a^2 = \frac{\sqrt3a^3}9$.
Mặt khác, thể tích tứ diện ASCD bằng $\frac 13.d(A,(SCD)).S_{SCD}$.
Tam giác SCD là tam giác vuông tại S có diện tích bằng $\frac 12.\frac{a\sqrt2}2.\frac{a\sqrt2}2 = \frac{a^2}4$.
Vậy thể tích tứ diện ASCD bằng $\frac 13.d(A,(SCD)).\frac{a^2}4$.
Từ đó suy ra $d(A,(SCD)) = \frac{3V_{ASCD}}{S_{SCD}} = \frac{3.\frac{\sqrt3a^3}9}{\frac{a^2}4} = \frac{4\sqrt3a^3}{9a^2} = \frac{4\sqrt3a}{9}$.
Nhưng đây không phải là một trong các đáp án.
Tuy nhiên, nếu bạn nhớ rằng khoảng cách từ một đỉnh của tứ diện đến mặt đối diện thì bằng $\frac 34$ đường cao của tứ diện, thì bạn sẽ tính được khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) bằng $\frac 34.\frac{4\sqrt3a}{9} = \frac{\sqrt3a}{3}$.
Vậy đáp án là $\frac{\sqrt3a}3$.
Đáp án: C.
Câu 32:
Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến khi và chỉ khi $f'(x) \leq 0$.
Ta có $f'(x) = (x-1)(x-3)$.
Xét dấu $f'(x)$:
- $f'(x) < 0$ khi $x \in (1;3)$.
- $f'(x) = 0$ khi $x = 1$ hoặc $x = 3$.
- $f'(x) > 0$ khi $x \in (-\infty;1) \cup (3;+\infty)$.
Vậy hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(1;3)$.
Đáp án: B.
Câu 33:
Đáp án: B
Số phần tử của không gian mẫu là $C_{12}^{4}=495$.
Số cách lấy 4 viên bi không có viên bi đỏ nào là $C_{9}^{4}=126$.
Xác suất để không lấy được viên bi đỏ là $\frac{126}{495}=\frac{14}{55}$.
Do đó, xác suất để lấy được ít nhất một viên bi đỏ là $1-\frac{14}{55}=\frac{41}{55}$.
Vậy xác suất cần tìm là $\frac{41}{55}$.
Đáp án: B