Trợ lý học tập AI - Câu trả lời này chỉ mang tính tham khảo
Câu 3.
a) Để tìm tọa độ đỉnh C, ta sử dụng công thức tọa độ trọng tâm tam giác:
\[\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right) = G\left(-\frac23;\frac13\right).\]
Thay tọa độ các đỉnh A, B vào, ta được:
\[\left(\frac{-1+2+x_C}{3};\frac{4-2+y_C}{3}\right) = \left(-\frac23;\frac13\right).\]
Giải hệ phương trình này, ta tìm được tọa độ đỉnh C:
\[\begin{cases} \frac{1+x_C}{3} = -\frac23 \\ \frac{2+y_C}{3} = \frac13 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_C = -1 \\ y_C = -1 \end{cases} \Rightarrow C(-1;-1).\]
Đường thẳng $\Delta^\prime$ đi qua điểm B(2;-2) và vuông góc với đường thẳng $\Delta:3x-y+2=0$. Đường thẳng $\Delta$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;-1)$. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta^\prime$ là $\vec{u}=(1;3)$ (do $\vec{u} \perp \vec{n}$). Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta^\prime$ đi qua điểm B(2;-2) với vectơ pháp tuyến $\vec{u}=(1;3)$ là:
\[1(x-2) + 3(y+2) = 0 \Rightarrow x + 3y + 4 = 0.\]
b) Đường tròn $(T)$ tâm B(2;-2) và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta:3x-y+2=0$. Bán kính R của đường tròn $(T)$ bằng khoảng cách từ tâm B đến đường thẳng $\Delta$. Ta có:
\[R = \frac{|3.2 - (-2) + 2|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}.\]
Vậy phương trình đường tròn $(T)$ là:
\[(x-2)^2 + (y+2)^2 = 10.\]
Tiếp điểm M của đường tròn $(T)$ và đường thẳng $\Delta$ là hình chiếu vuông góc của tâm B lên đường thẳng $\Delta$. Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:
\[\begin{cases} 3x - y + 2 = 0 \\ y = -3x + 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = \frac{1}{5} \\ y = -\frac{7}{5} \end{cases} \Rightarrow M\left(\frac{1}{5};-\frac{7}{5}\right).\]
c) Cho điểm M thay đổi tùy ý trên đường thẳng $\Delta:3x-y+2=0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\[F=MA+2MB+3MC.\]
Vì M thay đổi trên đường thẳng $\Delta$ nên M có dạng $M(x;3x+2)$. Khi đó:
\[MA = \sqrt{(-1-x)^2 + (4-(3x+2))^2} = \sqrt{(x+1)^2 + (2-3x)^2},\]
\[MB = \sqrt{(2-x)^2 + (-2-(3x+2))^2} = \sqrt{(x-2)^2 + (-4-3x)^2},\]
\[MC = \sqrt{(-1-x)^2 + (-1-(3x+2))^2} = \sqrt{(x+1)^2 + (-3-3x)^2}.\]
Do đó:
\[F = \sqrt{(x+1)^2 + (2-3x)^2} + 2\sqrt{(x-2)^2 + (-4-3x)^2} + 3\sqrt{(x+1)^2 + (-3-3x)^2}.\]
Để tìm giá trị nhỏ nhất của F, ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm. Tuy nhiên, vì biểu thức F phức tạp nên ta có thể sử dụng phương pháp mẫu chốt:
\[F \ge 3\sqrt{(x+1)^2 + (2-3x)^2} \ge 3\sqrt{(x+1)^2 + (2-3x)^2 + 2(x-2)^2 + 2(-4-3x)^2} = 3\sqrt{10}.\]
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $M = M\left(\frac{1}{5};-\frac{7}{5}\right)$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của F là $3\sqrt{10}$ khi $M = M\left(\frac{1}{5};-\frac{7}{5}\right)$.b) Phương trình đường tròn $(T): (x-2)^2 + (y+2)^2 = 10$. Tiếp điểm $M\left(\frac{1}{5};-\frac{7}{5}\right)$.
c) Giá trị nhỏ nhất của F là $3\sqrt{10}$ khi $M = M\left(\frac{1}{5};-\frac{7}{5}\right)$.
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019
Email: info@fqa.vn
Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.