Câu c với ạ

Câu 3. a) Để tìm tọa độ đỉnh C, ta sử dụng công thức tọa độ trọng tâm tam giác: \[\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right) = G\left(-\frac23;\frac13\right).\] Thay tọa độ các đỉnh A, B vào, ta được: \[\left(\frac{-1+2+x_C}{3};\frac{4-2+y_C}{3}\right) = \left(-\frac23;\frac13\right).\] Giải hệ phương trình này, ta tìm được tọa độ đỉnh C: \[\begin{cases} \frac{1+x_C}{3} = -\frac23 \\ \frac{2+y_C}{3} = \frac13 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_C = -1 \\ y_C = -1 \end{cases} \Rightarrow C(-1;-1).\] Đường thẳng $\Delta^\prime$ đi qua điểm B(2;-2) và vuông góc với đường thẳng $\Delta:3x-y+2=0$. Đường thẳng $\Delta$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;-1)$. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta^\prime$ là $\vec{u}=(1;3)$ (do $\vec{u} \perp \vec{n}$). Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta^\prime$ đi qua điểm B(2;-2) với vectơ pháp tuyến $\vec{u}=(1;3)$ là: \[1(x-2) + 3(y+2) = 0 \Rightarrow x + 3y + 4 = 0.\] b) Đường tròn $(T)$ tâm B(2;-2) và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta:3x-y+2=0$. Bán kính R của đường tròn $(T)$ bằng khoảng cách từ tâm B đến đường thẳng $\Delta$. Ta có: \[R = \frac{|3.2 - (-2) + 2|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}.\] Vậy phương trình đường tròn $(T)$ là: \[(x-2)^2 + (y+2)^2 = 10.\] Tiếp điểm M của đường tròn $(T)$ và đường thẳng $\Delta$ là hình chiếu vuông góc của tâm B lên đường thẳng $\Delta$. Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình: \[\begin{cases} 3x - y + 2 = 0 \\ y = -3x + 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = \frac{1}{5} \\ y = -\frac{7}{5} \end{cases} \Rightarrow M\left(\frac{1}{5};-\frac{7}{5}\right).\] c) Cho điểm M thay đổi tùy ý trên đường thẳng $\Delta:3x-y+2=0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[F=MA+2MB+3MC.\] Vì M thay đổi trên đường thẳng $\Delta$ nên M có dạng $M(x;3x+2)$. Khi đó: \[MA = \sqrt{(-1-x)^2 + (4-(3x+2))^2} = \sqrt{(x+1)^2 + (2-3x)^2},\] \[MB = \sqrt{(2-x)^2 + (-2-(3x+2))^2} = \sqrt{(x-2)^2 + (-4-3x)^2},\] \[MC = \sqrt{(-1-x)^2 + (-1-(3x+2))^2} = \sqrt{(x+1)^2 + (-3-3x)^2}.\] Do đó: \[F = \sqrt{(x+1)^2 + (2-3x)^2} + 2\sqrt{(x-2)^2 + (-4-3x)^2} + 3\sqrt{(x+1)^2 + (-3-3x)^2}.\] Để tìm giá trị nhỏ nhất của F, ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm. Tuy nhiên, vì biểu thức F phức tạp nên ta có thể sử dụng phương pháp mẫu chốt: \[F \ge 3\sqrt{(x+1)^2 + (2-3x)^2} \ge 3\sqrt{(x+1)^2 + (2-3x)^2 + 2(x-2)^2 + 2(-4-3x)^2} = 3\sqrt{10}.\] Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $M = M\left(\frac{1}{5};-\frac{7}{5}\right)$. Vậy giá trị nhỏ nhất của F là $3\sqrt{10}$ khi $M = M\left(\frac{1}{5};-\frac{7}{5}\right)$.b) Phương trình đường tròn $(T): (x-2)^2 + (y+2)^2 = 10$. Tiếp điểm $M\left(\frac{1}{5};-\frac{7}{5}\right)$. c) Giá trị nhỏ nhất của F là $3\sqrt{10}$ khi $M = M\left(\frac{1}{5};-\frac{7}{5}\right)$.