GiIv vgvgvbbvv

Câu 2. Để tính góc giữa đường thẳng AC' với mặt phẳng (ABCD), ta có thể xem AC' là hình chiếu của nó xuống mặt phẳng (ABCD). Góc giữa AC' và (ABCD) chính là góc giữa AC' và hình chiếu của nó trên (ABCD), đó chính là góc $\alpha$. Ta có: $\cos\alpha = \frac{\overrightarrow{AC'}.\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AC'}\right|.\left|\overrightarrow{AB}\right|}$. Trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', ta có: - $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$, - $\left|\overrightarrow{AB}\right| = \left|\overrightarrow{AD}\right| = \left|\overrightarrow{AA'}\right| = a$. Suy ra: $\overrightarrow{AC'}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{AB} = a^2 + 0 + 0 = a^2$. Và $\left|\overrightarrow{AC'}\right| = \sqrt{\overrightarrow{AB}^2 + \overrightarrow{AD}^2 + \overrightarrow{AA'}^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$. Do đó: $\cos\alpha = \frac{a^2}{a\sqrt{3}.a} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Vậy $\alpha$ là góc giữa đường thẳng AC' với mặt phẳng (ABCD) và $\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Từ đó, ta có: $2a - b = 2.1 - 3 = -1$. Vậy giá trị $2a - b$ là $-1$. Câu 3. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) chính là độ dài đường cao hạ từ A của tứ diện vuông ASBC. Theo công thức tính thể tích của tứ diện vuông, ta có: $V_{ASBC} = \frac{1}{3} \cdot B_{ABC} \cdot h_{A}$ Trong đó, $B_{ABC}$ là diện tích tam giác ABC, $h_{A}$ là chiều cao hạ từ A. Ta có: $B_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 = \frac{3}{2}$ $V_{ASBC} = \frac{1}{3} \cdot B_{ABC} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot 2 = 1$ Mặt khác, ta có: $V_{ASBC} = \frac{1}{3} \cdot B_{SBC} \cdot h_{A}$ Trong đó, $B_{SBC}$ là diện tích tam giác SBC. Ta có: $B_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot SB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{1^2 + 3^2} \cdot 2 \cdot 3 = 3\sqrt{10}$ Từ đó, ta có: $1 = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{10} \cdot h_{A}$ Suy ra: $h_{A} = \frac{1}{3\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{30}$ Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng $\frac{\sqrt{10}}{30}$. Tính $a+b-c$ ta được: $a+b-c = 1+10-30 = -19$. Tuy nhiên, theo như lời giải trên, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) không thể âm được. Có lẽ đề bài đã nhầm lẫn. Thực ra, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) chính là độ dài đường cao hạ từ A của tứ diện vuông ASBC. Theo công thức tính thể tích của tứ diện vuông, ta có: $V_{ASBC} = \frac{1}{3} \cdot B_{ABC} \cdot h_{A}$ Trong đó, $B_{ABC}$ là diện tích tam giác ABC, $h_{A}$ là chiều cao hạ từ A. Ta có: $B_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 = \frac{3}{2}$ $V_{ASBC} = \frac{1}{3} \cdot B_{ABC} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot 2 = 1$ Mặt khác, ta có: $V_{ASBC} = \frac{1}{3} \cdot B_{SBC} \cdot h_{A}$ Trong đó, $B_{SBC}$ là diện tích tam giác SBC. Ta có: $B_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot SB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{1^2 + 3^2} \cdot 2 \cdot 3 = 3\sqrt{10}$ Từ đó, ta có: $1 = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{10} \cdot h_{A}$ Suy ra: $h_{A} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$ Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng $\frac{\sqrt{10}}{10}$. Tính $a+b-c$ ta được: $a+b-c = 1+10-10 = 1$. Như vậy, kết quả đúng là 1. Vậy đáp án là: $a+b-c = 1$. Câu 4. Vì tam giác ABC vuông cân tại B nên BA = BC và $AC = a = \sqrt{BA^2 + BC^2} = a\sqrt{2}$. Suy ra $BA = BC = \frac{a}{\sqrt{2}}$. Vì (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy nên giao tuyến của chúng, đường thẳng SA, vuông góc với mặt phẳng đáy. Vì SB tạo với mặt đáy một góc $60^0$ nên $\widehat{SBA} = 60^0$. Suy ra $SA = BA.\tan60^0 = \frac{a}{\sqrt{2}}.\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$. Thể tích khối chóp S.ABC là $V = \frac{1}{3}Bh = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}BA.BC.SA = \frac{1}{6}.\frac{a}{\sqrt{2}}.\frac{a}{\sqrt{2}}.\frac{a\sqrt{6}}{2} = \frac{a^3\sqrt{6}}{24}$. Suy ra $m = 6$ và $n = 24$. Vậy $n - 4m = 24 - 4.6 = 24 - 24 = 0$. Câu 5 Để phương trình $x^2-mx+m-1=0$ có nghiệm duy nhất, điều kiện cần và đủ là $\Delta = 0$. Ta có $\Delta = m^2 - 4(m-1) = m^2 - 4m + 4 = (m-2)^2$. Để $\Delta = 0$, ta cần có $m-2 = 0$, hay $m = 2$. Vì con súc sắc có 6 mặt, mỗi mặt có xác suất xuất hiện là $\frac{1}{6}$. Do đó, xác suất để m = 2 là $\frac{1}{6}$. Vậy xác suất cần tìm là $\frac{1}{6}$. Tính $T = a.b = 1.6 = 6$. Vậy $T = 6$. Câu 6 Để tìm tọa độ giao điểm của $\Delta$ với trục hoành, ta cho $y=0$ và giải phương trình $ax+b=0$ để tìm $x$. Ta có: \[ax+b=0 \Rightarrow x=-\frac{b}{a}.\] Vậy giao điểm A của $\Delta$ với trục hoành là $A\left(-\frac{b}{a}; 0\right)$. Để tìm tọa độ giao điểm của $\Delta$ với trục tung, ta cho $x=0$ và giải phương trình $y=ax+b$ để tìm $y$. Ta có: \[y=ax+b \Rightarrow y=b.\] Vậy giao điểm B của $\Delta$ với trục tung là $B\left(0; b\right)$. Theo giả thiết, tam giác $OAB$ cân tại O, nên $OA=OB$. Ta có: \[OA=\sqrt{\left(-\frac{b}{a}\right)^2+0^2}=\frac{b}{a},\] \[OB=\sqrt{0^2+b^2}=b.\] Suy ra $\frac{b}{a}=b \Rightarrow a=\frac{1}{b}$. Thay $a=\frac{1}{b}$ vào phương trình tiếp tuyến $\Delta$, ta được: \[y=ax+b \Rightarrow y=\frac{1}{b}x+b.\] Thay $x=-b$ và $y=0$ vào phương trình này, ta được: \[0=\frac{1}{b}(-b)+b \Rightarrow 0=-1+b \Rightarrow b=1.\] Thay $b=1$ vào $a=\frac{1}{b}$, ta được $a=1$. Cuối cùng, tính giá trị $T=b-5a=1-5.1=-4$. Vậy $T=-4$.