Câu 2
Đầu tiên, ta vẽ hình và xác định các điểm, đường thẳng cần tìm khoảng cách.
[INSERT IMAGE HERE]
Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2, $SA\bot(ABC)$ và $SA=\sqrt6$. Gọi M là trung điểm của BC. Ta cần tìm khoảng cách từ A đến đường thẳng SM.
Ta thấy rằng, AM là đường trung tuyến của tam giác đều ABC nên $AM=\frac{AB\sqrt3}{2}=1\sqrt3$.
Ta có $SA\bot(ABC)$ nên $SA\bot AM$. Khi đó, theo định lý Pytago trong tam giác vuông SAM, ta có:
$SM=\sqrt{SA^2+AM^2}=\sqrt{6+3}=\sqrt9=3$.
Khoảng cách từ A đến đường thẳng SM chính là độ dài đường cao AH của tam giác SAM.
Ta có diện tích tam giác SAM là $\frac{1}{2}SA.AM=\frac{1}{2}\sqrt6.1\sqrt3=3$.
Mặt khác, diện tích tam giác SAM cũng có thể tính theo công thức $S=\frac{1}{2}SM.AH$.
Từ đó, ta có $AH=\frac{2S}{SM}=\frac{2.3}{3}=2$.
Vậy khoảng cách từ A đến đường thẳng SM bằng 2, hay $m=2$.
ANSWER: 2
Câu 3.
Đáy ABC là tam giác đều cạnh a nên diện tích S_ABC = $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
SA vuông góc với mặt đáy nên góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt đáy là góc giữa SB và BC, và theo giả thiết bằng $30^0$.
Trong tam giác vuông SAB, ta có SA = AB.tan(30) = a.tan(30) = a/sqrt(3).
Thể tích khối chóp S.ABC là V = $\frac{1}{3}$.S_ABC.SA = $\frac{1}{3}$.$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.$\frac{a}{\sqrt{3}}$ = $\frac{a^3}{12}$.
Vậy m = 1 và n = 12.
Do đó, n - m = 12 - 1 = 11.
Câu 4.
Để phương trình $x^2 - mx + m - 1 = 0$ có nghiệm lớn hơn 3, thì biệt thức $\Delta = m^2 - 4(m - 1) = m^2 - 4m + 4$ phải lớn hơn 0.
Ta có $\Delta > 0 \Leftrightarrow m^2 - 4m + 4 > 0 \Leftrightarrow (m - 2)^2 > 0$.
Suy ra $m \neq 2$.
Khi $m = 6$, phương trình trở thành $x^2 - 6x + 5 = 0$.
Giải phương trình này, ta được $x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}$.
Suy ra hai nghiệm là $x = 5$ và $x = 1$.
Nghiệm $x = 5$ lớn hơn 3, nghiệm $x = 1$ nhỏ hơn 3.
Khi $m = 5$, phương trình trở thành $x^2 - 5x + 4 = 0$.
Giải phương trình này, ta được $x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}$.
Suy ra hai nghiệm là $x = 4$ và $x = 1$.
Nghiệm $x = 4$ lớn hơn 3, nghiệm $x = 1$ nhỏ hơn 3.
Khi $m = 4$, phương trình trở thành $x^2 - 4x + 3 = 0$.
Giải phương trình này, ta được $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$.
Suy ra hai nghiệm là $x = 3$ và $x = 1$.
Nghiệm $x = 3$ lớn hơn 3, nghiệm $x = 1$ nhỏ hơn 3.
Khi $m = 3$, phương trình trở thành $x^2 - 3x + 2 = 0$.
Giải phương trình này, ta được $x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$.
Suy ra hai nghiệm là $x = 2$ và $x = 1$.
Nghiệm $x = 2$ lớn hơn 3, nghiệm $x = 1$ nhỏ hơn 3.
Khi $m = 2$, phương trình trở thành $x^2 - 2x + 1 = 0$.
Giải phương trình này, ta được $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2} = \frac{2 \pm 0}{2}$.
Suy ra nghiệm duy nhất là $x = 1$.
Nghiệm $x = 1$ nhỏ hơn 3.
Vậy chỉ có $m = 6, 5, 4$ thì phương trình có nghiệm lớn hơn 3.
Xác suất để con súc sắc xuất hiện mặt m chấm sao cho phương trình $x^2 - mx + m - 1 = 0$ có nghiệm lớn hơn 3 là $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
Vậy $a = 1, b = 2$ nên $T = a.b = 1.2 = 2$.
Câu 5.
Đầu tiên, ta cần tính đạo hàm của hàm số $f(x)$.
$f'(x) = ax^2 + b$
$f''(x) = 2ax$
Theo đề bài, ta có:
$f'(1) = a + b = 1$ (1)
$f''(1) = 2a = 2$ (2)
Từ (2), ta có $a = 1$. Thay vào (1), ta có:
$1 + b = 1 \Rightarrow b = 0$.
Vậy $a = 1, b = 0$.
Thay $a = 1, b = 0$ vào biểu thức $T = 2024a + b$, ta có:
$T = 2024*1 + 0 = 2024$.
Vậy giá trị của biểu thức $T$ là $2024$.
Câu 6.
Để ý rằng $\Delta AOB$ cân tại O nên trung điểm I của AB chính là tâm đối xứng của tam giác. Đường thẳng $\Delta$ đi qua I và vuông góc với AB.
Giao điểm của $\Delta$ với trục hoành là A có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:
$\begin{cases} y=ax+b \\ y=0 \end{cases} \Rightarrow A\left(-\frac{b}{a};0\right).$
Giao điểm của $\Delta$ với trục tung là B có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:
$\begin{cases} y=ax+b \\ x=0 \end{cases} \Rightarrow B\left(0;b\right).$
Trung điểm I của AB có tọa độ là:
$I\left(\frac{-\frac{b}{a}+0}{2};\frac{0+b}{2}\right) \Rightarrow I\left(-\frac{b}{2a};\frac{b}{2}\right).$
Vì $\Delta$ vuông góc với AB nên hệ số góc của $\Delta$ bằng $-1$ chia cho hệ số góc của AB.
Hệ số góc của AB là:
$k_{AB}=\frac{b-0}{0-\left(-\frac{b}{a}\right)}=\frac{b}{\frac{b}{a}}=a.$
Hệ số góc của $\Delta$ là:
$k_{\Delta}=a.$
Vì $\Delta$ vuông góc với AB nên:
$k_{\Delta}=-\frac{1}{k_{AB}} \Rightarrow a=-\frac{1}{a}.$
Giải phương trình trên ta được:
$a^2=-1 \Rightarrow a=\pm i.$
Vì a, b là các số thực nên a = i không thỏa mãn. Vậy a = -1.
Thay a = -1 vào phương trình tiếp tuyến $\Delta$ ta được:
$y=-x+b.$
Thay tọa độ điểm A vào phương trình tiếp tuyến $\Delta$ ta được:
$0=-(-b/a)+b \Rightarrow b=-\frac{b}{a}.$
Thay a = -1 vào ta được:
$b=-(-b) \Rightarrow b=b.$
Vậy b = 0.
Thay a = -1, b = 0 vào biểu thức T = 5a - 3b ta được:
$T=5(-1)-3.0=-5.$
Vậy $T=-5$.