11/05/2024
Làm sao để có câu trả lời hay nhất?
11/05/2024
28/05/2024
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\frac{1}{b^{2}} +\frac{1}{c^{2}} =\frac{1^{2}}{b^{2}} +\frac{1^{2}}{c^{2}} \geqslant \frac{( 1+1)^{2}}{b^{2} +c^{2}} =\frac{4}{b^{2} +c^{2}}\\
\Rightarrow P=\frac{1}{a^{2}}\left( b^{2} +c^{2}\right) +a^{2}\left(\frac{1}{b^{2}} +\frac{1}{c^{2}}\right) \geqslant \frac{b^{2} +c^{2}}{a^{2}} +\frac{4a^{2}}{b^{2} +c^{2}}
\end{array}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số $\displaystyle \frac{b^{2} +c^{2}}{a^{2}}$ và $\displaystyle \frac{4a^{2}}{b^{2} +c^{2}}$ dương và $\displaystyle \frac{a^{2}}{b^{2} +c^{2}} \geqslant 1$ ta được:
$\displaystyle \frac{b^{2} +c^{2}}{a^{2}} +\frac{4a^{2}}{b^{2} +c^{2}} =\left(\frac{b^{2} +c^{2}}{a^{2}} +\frac{a^{2}}{b^{2} +c^{2}}\right) +\frac{3a^{2}}{b^{2} +c^{2}} \geqslant 2\sqrt{\frac{b^{2} +c^{2}}{a^{2}} .\frac{a^{2}}{b^{2} +c^{2}}} +3.1=5$
Vậy $\displaystyle P\geqslant 5$, dấu $\displaystyle "="$ xảy ra khi $\displaystyle b=c=\frac{a}{\sqrt{2}}$
11/05/2024
Ta có
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
b^{2} +c^{2} \leqslant a^{2}\\
b^{2} +c^{2} \geqslant 2\sqrt{b^{2} .c^{2}}\\
\rightarrow b^{2} .c^{2} \leqslant \frac{\left( b^{2} +c^{2}\right)^{2}}{4} \leqslant \frac{a^{4}}{4}\\
\rightarrow bc\leqslant \frac{a^{2}}{2}\\
Q=\frac{1}{a^{2} .\left( b^{2} +c^{2}\right)} +a^{2}\left(\frac{1}{b^{2}} +\frac{1}{c^{2}}\right)\\
\ \ \ =\frac{1}{a^{2} .\left( b^{2} +c^{2}\right)} +a^{2} .\frac{b^{2} +c^{2}}{b^{2} .c^{2}}\\
\ \ \ \geqslant \frac{1}{a^{2} .a^{2}} +a^{2} .\frac{2bc}{b^{2} .c^{2}} =\frac{1}{a^{4}} +\frac{2a^{2}}{bc}\\
\ \ \ \geqslant \frac{1}{a^{4}} +\frac{2a^{2}}{\frac{a^{2}}{2}} =4+\frac{1}{a^{4} \ }
\end{array}$
Nếu bạn muốn hỏi bài tập
Các câu hỏi của bạn luôn được giải đáp dưới 10 phút
CÂU HỎI LIÊN QUAN
9 giờ trước
9 giờ trước
10 giờ trước
Top thành viên trả lời