Hỏi shhsbsb

Câu 1: Để phương trình $x^2-6x+m=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$, thì điều kiện cần là $\Delta > 0$. Ta có $\Delta = (-6)^2 - 4m = 36 - 4m$. Để $\Delta > 0$, thì $36 - 4m > 0$, hay $m < 9$. Theo Vi-et, ta có: $x_1 + x_2 = 6$ $x_1x_2 = m$ Theo bài ra, $x_1 - x_2 = 4$. Bình phương 2 vế, ta được: $(x_1 - x_2)^2 = 16$ $(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 16$ $6^2 - 4m = 16$ $36 - 4m = 16$ $4m = 20$ $m = 5$. Vậy $m = 5$ thỏa mãn điều kiện $m < 9$. Câu 2: Thay $x = -2$ vào phương trình, ta được: \[(-2)^2 + 2(m+1)(-2) + m^2 = 0.\] Từ đó, ta có: \[4 - 4(m+1) + m^2 = 0.\] Hay: \[m^2 - 4m + 4 = 0.\] Phương trình này có thể viết lại thành: \[(m - 2)^2 = 0.\] Do đó, phương trình có nghiệm duy nhất $m = 2$. Bây giờ, ta kiểm tra xem với $m = 2$, phương trình có hai nghiệm phân biệt hay không. Thay $m = 2$ vào phương trình, ta được: \[x^2 + 6x + 4 = 0.\] Ta có: \[\Delta = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20 > 0.\] Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt. Vậy, $m = 2$ là giá trị cần tìm. Câu 3: Theo Vi-et, ta có: $x_1+x_2=4$ $x_1x_2=m+1.$ Theo đề bài, ta có: $x^2_1+x^2_2=5(x_1+x_2).$ Biến đổi vế trái, ta được: $(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 5(x_1+x_2).$ Thay các giá trị từ Vi-et vào, ta được: $16 - 2(m+1) = 20.$ Giải phương trình này, ta được: $2(m+1) = -4 \Rightarrow m+1 = -2 \Rightarrow m = -3.$ Vậy, giá trị của $m$ cần tìm là $-3$. Câu 4: Theo Vi-et, ta có: $\begin{cases} x_1+x_2=m+5 \\ x_1x_2=-m+6 \end{cases}$ Ta có: $x^2_1x_2+x_1x^2_2=(x_1+x_2)x_1x_2= (m+5)(-m+6)$ Theo đề bài, ta có: $(m+5)(-m+6)=24$ $\Leftrightarrow -m^2+6m+5m-30=24$ $\Leftrightarrow -m^2+11m-54=0$ $\Leftrightarrow m^2-11m+54=0$ Giải phương trình bậc hai này, ta được: $m = \frac{11 \pm \sqrt{11^2 - 4.1.54}}{2.1} = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 216}}{2}$ $m = \frac{11 \pm \sqrt{-95}}{2}$ Vì $\sqrt{-95}$ là số ảo, nên không có giá trị thực nào của $m$ thỏa mãn phương trình. Như vậy, không có giá trị nào của $m$ để phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ sao cho $x^2_1x_2+x_1x^2_2=24$. Câu 5: Theo Vi-et, ta có: $x_1+x_2=1$ $x_1x_2=m$ Thay vào biểu thức $(x_1x_2-1)^2=9(x_1+x_2)$, ta được: $(m-1)^2=9(1)$ $(m-1)^2=9$ $\Rightarrow m-1=\pm3$ $\Rightarrow m=4 \text{ hoặc } m=-2$ Vậy $m=4$ hoặc $m=-2$. Câu 6: Để chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1;x_2$, ta cần chứng minh biệt thức $\Delta = (2m)^2 - 4(-1) = 4m^2 + 4 > 0$ luôn đúng với mọi $m$. Thật vậy, $4m^2 + 4 > 0$ luôn đúng với mọi $m$ vì $4m^2$ luôn không âm và $4 > 0$. Theo Vi-et, ta có: $x_1 + x_2 = 2m$ $x_1x_2 = -1$ Thay vào biểu thức $x^2_1+x^2_2-x_1x_2=7$, ta được: $(x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 = 7$ $(2m)^2 - 3(-1) = 7$ $4m^2 + 3 = 7$ $4m^2 = 4$ $m^2 = 1$ $m = \pm 1$ Vậy $m = 1$ hoặc $m = -1$ là các giá trị cần tìm. Câu 7: Theo Vi-et, ta có: $x_1+x_2=2$ $x_1x_2=m$ Ta có: $\frac1{x^2_1}+\frac1{x^2_2}=\frac{x^2_2+x^2_1}{(x_1x_2)^2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}=1$ Thay các giá trị của $x_1+x_2$ và $x_1x_2$ vào, ta được: $\frac{(2)^2-2m}{m^2}=1$ $\frac{4-2m}{m^2}=1$ $4-2m=m^2$ $m^2+2m-4=0$ Giải phương trình bậc hai này, ta được: $m=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4(-4)}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{24}}{2}=\frac{-2\pm2\sqrt6}{2}=-1\pm\sqrt6$ Vậy, các giá trị của $m$ là: $m=-1+\sqrt6$ hoặc $m=-1-\sqrt6$. Câu 8: Đầu tiên, ta cần tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm $x_1;x_2$. Điều này xảy ra khi và chỉ khi biệt thức $\Delta = (m-1)^2 - (m+1) = m^2 - 2m + 1 - m - 1 = m^2 - 3m \geq 0$. Giải bất phương trình $m^2 - 3m \geq 0$, ta được $m(m - 3) \geq 0$. Nghiệm của bất phương trình này là $m \leq 0$ hoặc $m \geq 3$. Vậy điều kiện để phương trình có 2 nghiệm là $m \leq 0$ hoặc $m \geq 3$. Tiếp theo, ta biến đổi $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}$ thành $\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2}$. Áp dụng định lý Vi-ét, ta có $x_1 + x_2 = 2(m-1)$ và $x_1x_2 = m+1$. Do đó, $\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} = \frac{(2(m-1))^2 - 2(m+1)}{m+1} = \frac{4(m^2 - 2m + 1) - 2m - 2}{m+1} = \frac{4m^2 - 8m + 4 - 2m - 2}{m+1} = \frac{4m^2 - 10m + 2}{m+1}$. Theo đề bài, ta có $\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = 4$, nên ta có phương trình $\frac{4m^2 - 10m + 2}{m+1} = 4$. Giải phương trình này, ta được $4m^2 - 10m + 2 = 4m + 4$, hay $4m^2 - 14m - 2 = 0$. Giải phương trình này, ta được $m = \frac{14 \pm \sqrt{14^2 - 4.4.(-2)}}{2.4} = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 32}}{8} = \frac{14 \pm \sqrt{228}}{8} = \frac{14 \pm 2\sqrt{57}}{8} = \frac{7 \pm \sqrt{57}}{4}$. So sánh với điều kiện $m \leq 0$ hoặc $m \geq 3$, ta thấy chỉ có $m = \frac{7 + \sqrt{57}}{4}$ thoả mãn. Vậy, giá trị của $m$ cần tìm là $m = \frac{7 + \sqrt{57}}{4}$. Câu 9: Theo Vi-et, ta có: \[ \begin{cases} x_1+x_2=4m-1 \\ x_1x_2=3m^2-2m \end{cases} \] Ta có: \[ \begin{aligned} x^2_1+x^2_2 &= (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 \\ &= (4m-1)^2 - 2(3m^2-2m) \\ &= 16m^2 - 8m + 1 - 6m^2 + 4m \\ &= 10m^2 - 4m + 1 \end{aligned} \] Theo đề bài, ta có: \[ 10m^2 - 4m + 1 = 7 \quad \text{hay} \quad 10m^2 - 4m - 6 = 0 \] Giải phương trình này, ta được: \[ m = \frac{4 \pm \sqrt{4^2 - 4.10.(-6)}}{2.10} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 240}}{20} = \frac{4 \pm \sqrt{256}}{20} = \frac{4 \pm 16}{20} \] Ta có hai nghiệm: $m = \frac{20}{20} = 1$ và $m = \frac{-12}{20} = -\frac{3}{5}$. Vậy, với $m = 1$ hoặc $m = -\frac{3}{5}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $x^2_1+x^2_2=7$. Câu 10: Đầu tiên, ta cần tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Điều này tương đương với việc biệt thức $\Delta = b^2 - 4ac > 0$. Trong phương trình $x^2 - 4x - m^2 + 3 = 0$, ta có $a = 1$, $b = -4$, và $c = -m^2 + 3$. Do đó, $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(-m^2 + 3) = 16 + 4m^2 - 12 = 4m^2 + 4$. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần $\Delta > 0$, tức là $4m^2 + 4 > 0$. Điều này luôn đúng với mọi $m$ vì $4m^2 + 4$ là một số dương. Giả sử $x_1$ và $x_2$ là hai nghiệm của phương trình, theo Vi-ét, ta có: $x_1 + x_2 = 4$ $x_1x_2 = -m^2 + 3$ Theo đề bài, ta có $x_2 = -5x_1$. Thay vào phương trình $x_1 + x_2 = 4$, ta được: $x_1 - 5x_1 = 4 \Rightarrow -4x_1 = 4 \Rightarrow x_1 = -1$ Thay $x_1 = -1$ vào $x_2 = -5x_1$, ta được $x_2 = 5$. Thay $x_1 = -1$ và $x_2 = 5$ vào $x_1x_2 = -m^2 + 3$, ta được: $-1 \cdot 5 = -m^2 + 3 \Rightarrow -5 = -m^2 + 3 \Rightarrow m^2 = 8 \Rightarrow m = \pm 2\sqrt{2}$ Vậy, các giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $m = 2\sqrt{2}$ hoặc $m = -2\sqrt{2}$.