Câu 1:
Để phương trình $x^2-6x+m=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$, thì điều kiện cần là $\Delta > 0$.
Ta có $\Delta = (-6)^2 - 4m = 36 - 4m$.
Để $\Delta > 0$, thì $36 - 4m > 0$, hay $m < 9$.
Theo Vi-et, ta có:
$x_1 + x_2 = 6$
$x_1x_2 = m$
Theo bài ra, $x_1 - x_2 = 4$. Bình phương 2 vế, ta được:
$(x_1 - x_2)^2 = 16$
$(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 16$
$6^2 - 4m = 16$
$36 - 4m = 16$
$4m = 20$
$m = 5$.
Vậy $m = 5$ thỏa mãn điều kiện $m < 9$.
Câu 2:
Thay $x = -2$ vào phương trình, ta được:
\[(-2)^2 + 2(m+1)(-2) + m^2 = 0.\]
Từ đó, ta có:
\[4 - 4(m+1) + m^2 = 0.\]
Hay:
\[m^2 - 4m + 4 = 0.\]
Phương trình này có thể viết lại thành:
\[(m - 2)^2 = 0.\]
Do đó, phương trình có nghiệm duy nhất $m = 2$.
Bây giờ, ta kiểm tra xem với $m = 2$, phương trình có hai nghiệm phân biệt hay không.
Thay $m = 2$ vào phương trình, ta được:
\[x^2 + 6x + 4 = 0.\]
Ta có:
\[\Delta = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20 > 0.\]
Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Vậy, $m = 2$ là giá trị cần tìm.
Câu 3:
Theo Vi-et, ta có:
$x_1+x_2=4$
$x_1x_2=m+1.$
Theo đề bài, ta có:
$x^2_1+x^2_2=5(x_1+x_2).$
Biến đổi vế trái, ta được:
$(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 5(x_1+x_2).$
Thay các giá trị từ Vi-et vào, ta được:
$16 - 2(m+1) = 20.$
Giải phương trình này, ta được:
$2(m+1) = -4 \Rightarrow m+1 = -2 \Rightarrow m = -3.$
Vậy, giá trị của $m$ cần tìm là $-3$.
Câu 4:
Theo Vi-et, ta có:
$\begin{cases} x_1+x_2=m+5 \\ x_1x_2=-m+6 \end{cases}$
Ta có:
$x^2_1x_2+x_1x^2_2=(x_1+x_2)x_1x_2= (m+5)(-m+6)$
Theo đề bài, ta có:
$(m+5)(-m+6)=24$
$\Leftrightarrow -m^2+6m+5m-30=24$
$\Leftrightarrow -m^2+11m-54=0$
$\Leftrightarrow m^2-11m+54=0$
Giải phương trình bậc hai này, ta được:
$m = \frac{11 \pm \sqrt{11^2 - 4.1.54}}{2.1} = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 216}}{2}$
$m = \frac{11 \pm \sqrt{-95}}{2}$
Vì $\sqrt{-95}$ là số ảo, nên không có giá trị thực nào của $m$ thỏa mãn phương trình.
Như vậy, không có giá trị nào của $m$ để phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ sao cho $x^2_1x_2+x_1x^2_2=24$.
Câu 5:
Theo Vi-et, ta có:
$x_1+x_2=1$
$x_1x_2=m$
Thay vào biểu thức $(x_1x_2-1)^2=9(x_1+x_2)$, ta được:
$(m-1)^2=9(1)$
$(m-1)^2=9$
$\Rightarrow m-1=\pm3$
$\Rightarrow m=4 \text{ hoặc } m=-2$
Vậy $m=4$ hoặc $m=-2$.
Câu 6:
Để chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1;x_2$, ta cần chứng minh biệt thức $\Delta = (2m)^2 - 4(-1) = 4m^2 + 4 > 0$ luôn đúng với mọi $m$.
Thật vậy, $4m^2 + 4 > 0$ luôn đúng với mọi $m$ vì $4m^2$ luôn không âm và $4 > 0$.
Theo Vi-et, ta có:
$x_1 + x_2 = 2m$
$x_1x_2 = -1$
Thay vào biểu thức $x^2_1+x^2_2-x_1x_2=7$, ta được:
$(x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 = 7$
$(2m)^2 - 3(-1) = 7$
$4m^2 + 3 = 7$
$4m^2 = 4$
$m^2 = 1$
$m = \pm 1$
Vậy $m = 1$ hoặc $m = -1$ là các giá trị cần tìm.
Câu 7:
Theo Vi-et, ta có:
$x_1+x_2=2$
$x_1x_2=m$
Ta có:
$\frac1{x^2_1}+\frac1{x^2_2}=\frac{x^2_2+x^2_1}{(x_1x_2)^2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}=1$
Thay các giá trị của $x_1+x_2$ và $x_1x_2$ vào, ta được:
$\frac{(2)^2-2m}{m^2}=1$
$\frac{4-2m}{m^2}=1$
$4-2m=m^2$
$m^2+2m-4=0$
Giải phương trình bậc hai này, ta được:
$m=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4(-4)}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{24}}{2}=\frac{-2\pm2\sqrt6}{2}=-1\pm\sqrt6$
Vậy, các giá trị của $m$ là: $m=-1+\sqrt6$ hoặc $m=-1-\sqrt6$.
Câu 8:
Đầu tiên, ta cần tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm $x_1;x_2$. Điều này xảy ra khi và chỉ khi biệt thức $\Delta = (m-1)^2 - (m+1) = m^2 - 2m + 1 - m - 1 = m^2 - 3m \geq 0$.
Giải bất phương trình $m^2 - 3m \geq 0$, ta được $m(m - 3) \geq 0$. Nghiệm của bất phương trình này là $m \leq 0$ hoặc $m \geq 3$. Vậy điều kiện để phương trình có 2 nghiệm là $m \leq 0$ hoặc $m \geq 3$.
Tiếp theo, ta biến đổi $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}$ thành $\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2}$. Áp dụng định lý Vi-ét, ta có $x_1 + x_2 = 2(m-1)$ và $x_1x_2 = m+1$.
Do đó, $\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} = \frac{(2(m-1))^2 - 2(m+1)}{m+1} = \frac{4(m^2 - 2m + 1) - 2m - 2}{m+1} = \frac{4m^2 - 8m + 4 - 2m - 2}{m+1} = \frac{4m^2 - 10m + 2}{m+1}$.
Theo đề bài, ta có $\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = 4$, nên ta có phương trình $\frac{4m^2 - 10m + 2}{m+1} = 4$.
Giải phương trình này, ta được $4m^2 - 10m + 2 = 4m + 4$, hay $4m^2 - 14m - 2 = 0$.
Giải phương trình này, ta được $m = \frac{14 \pm \sqrt{14^2 - 4.4.(-2)}}{2.4} = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 32}}{8} = \frac{14 \pm \sqrt{228}}{8} = \frac{14 \pm 2\sqrt{57}}{8} = \frac{7 \pm \sqrt{57}}{4}$.
So sánh với điều kiện $m \leq 0$ hoặc $m \geq 3$, ta thấy chỉ có $m = \frac{7 + \sqrt{57}}{4}$ thoả mãn.
Vậy, giá trị của $m$ cần tìm là $m = \frac{7 + \sqrt{57}}{4}$.
Câu 9:
Theo Vi-et, ta có:
\[
\begin{cases}
x_1+x_2=4m-1 \\
x_1x_2=3m^2-2m
\end{cases}
\]
Ta có:
\[
\begin{aligned}
x^2_1+x^2_2 &= (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 \\
&= (4m-1)^2 - 2(3m^2-2m) \\
&= 16m^2 - 8m + 1 - 6m^2 + 4m \\
&= 10m^2 - 4m + 1
\end{aligned}
\]
Theo đề bài, ta có:
\[
10m^2 - 4m + 1 = 7 \quad \text{hay} \quad 10m^2 - 4m - 6 = 0
\]
Giải phương trình này, ta được:
\[
m = \frac{4 \pm \sqrt{4^2 - 4.10.(-6)}}{2.10} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 240}}{20} = \frac{4 \pm \sqrt{256}}{20} = \frac{4 \pm 16}{20}
\]
Ta có hai nghiệm: $m = \frac{20}{20} = 1$ và $m = \frac{-12}{20} = -\frac{3}{5}$.
Vậy, với $m = 1$ hoặc $m = -\frac{3}{5}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $x^2_1+x^2_2=7$.
Câu 10:
Đầu tiên, ta cần tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Điều này tương đương với việc biệt thức $\Delta = b^2 - 4ac > 0$. Trong phương trình $x^2 - 4x - m^2 + 3 = 0$, ta có $a = 1$, $b = -4$, và $c = -m^2 + 3$. Do đó, $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(-m^2 + 3) = 16 + 4m^2 - 12 = 4m^2 + 4$. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần $\Delta > 0$, tức là $4m^2 + 4 > 0$. Điều này luôn đúng với mọi $m$ vì $4m^2 + 4$ là một số dương.
Giả sử $x_1$ và $x_2$ là hai nghiệm của phương trình, theo Vi-ét, ta có:
$x_1 + x_2 = 4$
$x_1x_2 = -m^2 + 3$
Theo đề bài, ta có $x_2 = -5x_1$. Thay vào phương trình $x_1 + x_2 = 4$, ta được:
$x_1 - 5x_1 = 4 \Rightarrow -4x_1 = 4 \Rightarrow x_1 = -1$
Thay $x_1 = -1$ vào $x_2 = -5x_1$, ta được $x_2 = 5$.
Thay $x_1 = -1$ và $x_2 = 5$ vào $x_1x_2 = -m^2 + 3$, ta được:
$-1 \cdot 5 = -m^2 + 3 \Rightarrow -5 = -m^2 + 3 \Rightarrow m^2 = 8 \Rightarrow m = \pm 2\sqrt{2}$
Vậy, các giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $m = 2\sqrt{2}$ hoặc $m = -2\sqrt{2}$.