Đáp án: C. $.~(\frac1v)^\prime=-\frac v{v^\prime}(v\neq0).$
Lấy đạo hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{v(x)}$ theo định nghĩa đạo hàm:
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{v(x+h)} - \frac{1}{v(x)}}{h}.$
Sử dụng tính chất của phân thức, ta có:
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{v(x) - v(x+h)}{v(x+h)v(x)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-v(h)}{v(x+h)v(x)} \cdot \frac{1}{h}.$
Khi $h \to 0$, ta có:
$f'(x) = -\frac{v'(x)}{v^2(x)}.$
Vậy, ta có:
$(\frac1v)^\prime=-\frac v{v^\prime}(v\neq0).$
Do đó, câu trả lời là C.
Câu 30.
Đạo hàm của hàm số $y=3\cot x+1$ là:
\[y' = -3\frac{1}{\sin^2 x} = -\frac{3}{\sin^2 x}.\]
Vậy đáp án là $\boxed{B}$.
Câu 31.
Để tìm đạo hàm của hàm số $y = \sin^2x$, chúng ta sử dụng công thức đạo hàm của hàm hợp và công thức đạo hàm của hàm số lượng giác.
Công thức đạo hàm của hàm hợp: $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$
Công thức đạo hàm của hàm số lượng giác: $(\sin x)' = \cos x$
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp với $u = \sin x$, ta có:
\[y' = (\sin^2x)' = 2\sin x \cdot (\sin x)' = 2\sin x \cdot \cos x = \sin 2x.\]
Vậy đạo hàm của hàm số $y = \sin^2x$ là $y' = \sin 2x$.
Đáp án: D.
Câu 32.
Đạo hàm của hàm số $y=2\sin x-3\cos x+3$ là $y^\prime=2\cos x+3\sin x$.
So sánh với $y^\prime=a\cos x+b\sin x+c$, ta có $a=2$, $b=3$, $c=0$.
Thay vào $S=2a+b-c$, ta được $S=2.2+3-0=7$.
Vậy $S=7$.
Đáp án: B.
Câu 33.
Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{2+2x^2}$.
Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp, ta có:
\[y^\prime = \frac{d}{dx}\sqrt{2+2x^2} = \frac{1}{2\sqrt{2+2x^2}} \cdot \frac{d}{dx}(2+2x^2).\]
Đạo hàm của $2+2x^2$ theo $x$ là $4x$.
Do đó,
\[y^\prime = \frac{4x}{2\sqrt{2+2x^2}} = \frac{2x}{\sqrt{2+2x^2}}.\]
So sánh với dạng $y^\prime = \frac{a+bx}{\sqrt{2+2x^2}}$, ta thấy $a=0$ và $b=2$.
Vậy $S=a-2b=0-2.2=-4$.
Đáp án: A.
Câu 34.
Đầu tiên, ta cần tính đạo hàm của hàm số $y=x^3-3x^2$.
Đạo hàm của hàm số $y=x^3-3x^2$ là $y'=3x^2-6x$.
Tại điểm $M(1;-2)$, đạo hàm của hàm số có giá trị là $y'(1)=3.1^2-6.1=-3$.
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $M(1;-2)$ là $-3$.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $M(1;-2)$ có dạng $y=-3(x-1)-2$.
Rút gọn phương trình, ta được $y=-3x+3$.
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(1;-2) là $y=-3x+3$.
Đáp án: A.
Câu 35.
Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số $y=\frac{x^2+x}{x-1}$.
Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của thương, ta có:
\[y^\prime = \frac{(2x+1)(x-1) - (x^2+x)}{(x-1)^2}.\]
Rút gọn biểu thức trên, ta được:
\[y^\prime = \frac{2x^2 - 2x + x - 1 - x^2 - x}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}.\]
So sánh với biểu thức $y^\prime=\frac{ax^2+bx+c}{(x-1)^2}$, ta thấy $a=1$, $b=-2$, $c=-1$.
Tính tổng $S=a+b+c$, ta được:
\[S = 1 + (-2) + (-1) = -2.\]
Vậy $S=-2$.
Đáp án: B.
Câu 36:
Để tìm giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành, ta cho $y = 0$ và giải phương trình $f(x) = 0$.
Ta có:
\[0 = f(x) = \frac{x+1}{x+2}.\]
Giải phương trình này, ta được:
\[0 = x + 1 \Rightarrow x = -1.\]
Vậy giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành là $A(-1, 0)$.
Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm $A(-1, 0)$, ta cần tính đạo hàm của hàm số $f(x)$ và tính giá trị của đạo hàm tại $x = -1$.
Đạo hàm của hàm số $f(x)$ là:
\[f'(x) = \frac{(x+2) - (x+1)}{(x+2)^2} = \frac{1}{(x+2)^2}.\]
Tính giá trị của đạo hàm tại $x = -1$:
\[f'(-1) = \frac{1}{(-1+2)^2} = 1.\]
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm $A(-1, 0)$ là:
\[y - 0 = f'(-1)(x - (-1)) \Rightarrow y = x + 1.\]
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành là $y = x + 1$.
Câu 37:
Để tính xác suất của biến cố A, ta có công thức: P(A) = $\frac{n(A)}{n(Ω)}$, trong đó n(A) là số kết quả thuận lợi cho biến cố A, n(Ω) là số kết quả có thể xảy ra.
Tập hợp các tấm thẻ từ 1 đến 30 gồm 15 tấm thẻ mang số lẻ và 15 tấm thẻ mang số chẵn.
Chọn 5 tấm thẻ mang số lẻ và 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ chia hết cho 10.
- Chọn 1 tấm thẻ chia hết cho 10 trong 3 tấm thẻ chia hết cho 10, có $C_3^1 = 3$ cách.
- Chọn 4 tấm thẻ lẻ trong 15 tấm thẻ lẻ, có $C_{15}^4 = 1365$ cách.
- Chọn 4 tấm thẻ chẵn không chia hết cho 10 trong 12 tấm thẻ chẵn không chia hết cho 10, có $C_{12}^4 = 495$ cách.
Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố A là $n(A) = 3 \times 1365 \times 495 = 2047575$.
Số kết quả có thể xảy ra là chọn 10 tấm thẻ trong 30 tấm thẻ, có $C_{30}^{10} = 30045015$ cách.
Vậy xác suất của biến cố A là $P(A) = \frac{n(A)}{n(Ω)} = \frac{2047575}{30045015} = \frac{1365 \times 495}{C_{30}^{10}} = \frac{1}{14}$.
Câu 38:
Đầu tiên, chúng ta cần tính gia tốc chuyển động của chất điểm. Gia tốc là đạo hàm bậc hai của quãng đường theo thời gian.
Ta có: $s(t)=\frac14t^4-t^3+\frac52t^2+10t$.
Tính đạo hàm bậc nhất: $s'(t) = t^3 - 3t^2 + 5t + 10$.
Tính đạo hàm bậc hai: $s''(t) = 3t^2 - 6t + 5$.
Để tìm thời điểm mà gia tốc chuyển động nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $s''(t)$.
Xét hàm $f(t) = 3t^2 - 6t + 5$, đây là một parabol quay bề lõm lên trên, do đó nó đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh.
Đỉnh của parabol $f(t)$ là $t = -\frac{-6}{2.3} = 1$.
Thay $t = 1$ vào $s'(t)$, ta được vận tốc chuyển động tại thời điểm $t = 1$:
$v(1) = s'(1) = 1^3 - 3.1^2 + 5.1 + 10 = 1 - 3 + 5 + 10 = 13$.
Vậy vận tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm chất điểm có gia tốc chuyển động nhỏ nhất là $13$ m/s.
Câu 39:
Lời giải:
Ta có $M$ là trung điểm của $AD$ nên $AM = MD = \frac{AD}{2} = a$.
Kẻ $MH \perp CD$ thì $MH \parallel SA$ (vì cùng vuông góc với $(ABCD)$) nên $MH \perp (SCD)$.
Ta có $SA = a$, $AD = 2a$, $AB = BC = a$ nên $AC = AD = 2a$, $AB = BC = a$.
Tam giác $ACD$ vuông tại $A$ nên $CD = \sqrt{AC^2 + AD^2} = \sqrt{(2a)^2 + (2a)^2} = 2a\sqrt{2}$.
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $BC = a$ nên $AC = a\sqrt{2}$.
Tam giác $ACD$ vuông tại $A$ nên $CD = \sqrt{AC^2 + AD^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + (2a)^2} = a\sqrt{6}$.
Tam giác $MCD$ vuông tại $M$ nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
$MH^2 = \frac{MA^2.MC^2}{MC^2 + MD^2} = \frac{a^2.(a\sqrt{2})^2}{(a\sqrt{2})^2 + (a)^2} = \frac{2a^4}{3a^2} = \frac{2a^2}{3}$.
Suy ra $MH = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.
Tam giác $SAM$ vuông tại $A$ nên $SA^2 = AM^2 + MH^2$ hay $a^2 = a^2 + MH^2$.
Suy ra $MH = 0$ hay $MH = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.
Vậy khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(SCD)$ là $\frac{a\sqrt{5}}{5}$.