sossssssssss

Câu 1. a. Để rút gọn biểu thức $Q$, ta cần thực hiện các phép tính trong ngoặc trước. $\frac{\sqrt y+3}{\sqrt y-2}+\frac{\sqrt y+2}{3-\sqrt y}+\frac{\sqrt y+2}{y-5\sqrt y+6}$ Để thực hiện các phép tính này, ta cần đưa các phân thức về cùng mẫu số. $\frac{(\sqrt y+3)(\sqrt y-2)}{(\sqrt y-2)(3-\sqrt y)}+\frac{(\sqrt y+2)(3+\sqrt y)}{(3-\sqrt y)(3+\sqrt y)}+\frac{(\sqrt y+2)(y-6\sqrt y+9)}{(y-5\sqrt y+6)(y-6\sqrt y+9)}$ $= \frac{(\sqrt y+3)(\sqrt y-2)+((\sqrt y+2)(3+\sqrt y))+((\sqrt y+2)(y-6\sqrt y+9))}{y-9}$ $= \frac{y+3\sqrt y-2\sqrt y-6+3\sqrt y+y+2\sqrt y+2y-12\sqrt y+18}{y-9}$ $= \frac{4y-9}{y-9}$ Vậy $Q=(y-4)\frac{4y-9}{y-9}=\frac{4y^2-25y+36}{y-9}$. b. Để tìm các giá trị nguyên $y$ để $Q\leq\sqrt{7+4\sqrt3}$, ta cần giải bất phương trình: $\frac{4y^2-25y+36}{y-9}\leq\sqrt{7+4\sqrt3}$. Đầu tiên, ta cần tính $\sqrt{7+4\sqrt3}$. Đặt $\sqrt{7+4\sqrt3}=x$, ta có $x^2=7+4\sqrt3$. Lấy $x^2-7=4\sqrt3$, bình phương hai vế ta được: $(x^2-7)^2=48 \Rightarrow x^4-14x^2+49=48 \Rightarrow x^4-14x^2+1=0$. Giải phương trình bậc bốn này, ta được $x=\sqrt{7+4\sqrt3}$. Vậy ta cần giải bất phương trình: $\frac{4y^2-25y+36}{y-9}\leq\sqrt{7+4\sqrt3}$. Đặt $f(y)=\frac{4y^2-25y+36}{y-9}$, ta cần tìm các giá trị $y$ nguyên sao cho $f(y)\leq\sqrt{7+4\sqrt3}$. Ta có $f'(y)=\frac{4y^2-58y+126}{(y-9)^2}$. Giải phương trình $f'(y)=0$, ta được $y=\frac{29\pm\sqrt{29^2-4*4*126}}{2*4}=\frac{29\pm\sqrt{841-504}}{8}=\frac{29\pm\sqrt{337}}{8}$. Vì $y$ nguyên nên $y=\frac{29+\sqrt{337}}{8}$ và $y=\frac{29-\sqrt{337}}{8}$ không thể là nghiệm nguyên. Ta có bảng biến thiên: | $y$ | $-\infty$ | $9$ | $\frac{29-\sqrt{337}}{8}$ | $\frac{29+\sqrt{337}}{8}$ | $+\infty$ | |---|---|---|---|---|---| | $f'(y)$ | + | || - | | + | | $f(y)$ | | $\nearrow$ | | $\searrow$ | | Từ bảng biến thiên, ta thấy $f(y)$ đạt giá trị lớn nhất tại $y=\frac{29-\sqrt{337}}{8}$ và $y=\frac{29+\sqrt{337}}{8}$. Vì $y$ nguyên nên ta chỉ cần xét các giá trị $y$ nguyên gần $\frac{29}{8}$ nhất, đó là $y=4$ và $y=5$. Thử lại, ta thấy $f(4)=\frac{4*4^2-25*4+36}{4-9}=4$ và $f(5)=\frac{4*5^2-25*5+36}{5-9}=-1$. Vậy các giá trị nguyên $y$ thỏa mãn bất phương trình là $y=4$ và $y=5$.