Câu đúng sai

câu 1 Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 1$ trên đoạn $[-2;4]$, ta cần tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút của đoạn $[-2;4]$ và tại các điểm cực trị của hàm số trên khoảng $(-2;4)$. 1. Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút: $f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 9(-2) + 1 = -8 - 12 + 18 + 1 = -1$, $f(4) = 4^3 - 3.4^2 - 9.4 + 1 = 64 - 48 - 36 + 1 = -19$. 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số: Đạo hàm của hàm số $f(x)$ là $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$. Giải phương trình $f'(x) = 0$ ta được: $3x^2 - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 3 = 0$. Phương trình này có hai nghiệm phân biệt $x_1 = 1 + \sqrt{4} = 3$ và $x_2 = 1 - \sqrt{4} = -1$. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: $f(3) = 3^3 - 3.3^2 - 9.3 + 1 = 27 - 27 - 27 + 1 = -26$, $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 1 = -1 - 3 + 9 + 1 = 6$. So sánh các giá trị $f(-2)$, $f(3)$, $f(-1)$ và $f(4)$, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-2;4]$ là $6$. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 1$ trên đoạn $[-2;4]$ là $6$. câu 6. Để tính $I=\log_{\frac a5}(\frac{a^3}{125})$, chúng ta có thể sử dụng công thức logarit $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$. Áp dụng công thức này, ta có: $I = \frac{\log_{\frac{a}{5}} \frac{a^3}{125}}{\log_{\frac{a}{5}} \frac{a}{5}}.$ Ta biết rằng $\log_{\frac{a}{5}} \frac{a}{5} = 1$, vì $\frac{a}{5}$ được lũy thừa lên 1 thì bằng chính nó. Còn $\log_{\frac{a}{5}} \frac{a^3}{125}$, ta có thể viết $\frac{a^3}{125} = \left(\frac{a}{5}\right)^3$, nên $\log_{\frac{a}{5}} \frac{a^3}{125} = 3$. Do đó, $I = \frac{3}{1} = 3$. Vậy $I = 3$. Câu 1. Áp dụng công thức tính lãi kép, sau 10 năm số tiền Bà Hạnh nhận được là: $A(1+r)^n = 100(1+0.08)^{10} = 100(1.08)^{10} \approx 215.89.$ Số tiền lãi thu được sau 10 năm là: $215.89 - 100 = 115.89.$ Làm tròn đến hàng đơn vị, số tiền lãi thu được sau 10 năm là 116 triệu. Câu 2. [tạo hình] Gọi I là trung điểm của BC, O là tâm hình vuông ABCD. Khi đó, ta có: - $HK // DI$ nên HK // (SIO) - $d(HK, SD) = d(HK, (SIO)) = d(H, (SIO))$ Gọi F là hình chiếu vuông góc của H lên SO, khi đó: - $HF \bot (SIO)$ - $d(H, (SIO)) = HF$ Tính HF: - Tam giác SHO vuông tại O, có: $OH = \frac{a}{2}, SO = \frac{a\sqrt{17}}{2}$ - $1/HF^2 = 1/SH^2 - 1/SO^2 = 1/(a^2/4 + a^2.17/4) - 1/(a^2.17/4) = 4/a^2 - 4/17a^2 = 13/17a^2$ - $HF = \frac{a\sqrt{17}}{\sqrt{17.13}} = \frac{a\sqrt{17}}{13}$ Thay $a = 5\sqrt{3}$: - $HF = \frac{5\sqrt{3}.\sqrt{17}}{13} = \frac{5\sqrt{51}}{13}$ Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD là $\frac{5\sqrt{51}}{13}$. Câu 3. Giải thích: Đầu tiên, ta cần tính chiều cao của lăng trụ. Gọi H là trung điểm của BC, ta có $AH = a\sqrt{3}$ và $AB' = 2a$. Khi đó, góc giữa AB' và mặt phẳng (BCC'B') chính là góc giữa AB' và B'H. Ta có $B'H = \sqrt{AB'^2 - AH^2} = \sqrt{(2a)^2 - (a\sqrt{3})^2} = a\sqrt{3}$. Vậy $\tan(\angle AB'H) = \frac{AH}{B'H} = \frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{3}} = 1$. Suy ra $\angle AB'H = 45^0$. Do đó, góc giữa AB' và mặt phẳng (BCC'B') là $30^0$. Từ đó, ta có $AH = B'H \cdot \tan(30^0) = a\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = a$. Vậy chiều cao của lăng trụ là $h = AH = a$. Diện tích đáy là $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot a\sqrt{3} = a^2\sqrt{3}$. Thể tích của khối lăng trụ là $V = S \cdot h = a^2\sqrt{3} \cdot a = a^3\sqrt{3}$. Thay $a = \sqrt{6}$ vào, ta được $V = (\sqrt{6})^3\sqrt{3} = \sqrt{108}$. Vậy thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng $\sqrt{108}$. Câu 4. Để tính xác suất để hai viên bi được lấy ra có cùng màu, ta cần tính xác suất để lấy được hai viên bi trắng, hai viên bi đỏ hoặc hai viên bi xanh. 1. Xác suất để lấy được hai viên bi trắng: - Từ hộp I, xác suất lấy được một viên bi trắng là $\frac{4}{15}$. - Từ hộp II, xác suất lấy được một viên bi trắng là $\frac{7}{18}$. - Do đó, xác suất để lấy được hai viên bi trắng là $\frac{4}{15} \times \frac{7}{18} = \frac{28}{270}$. 2. Xác suất để lấy được hai viên bi đỏ: - Từ hộp I, xác suất lấy được một viên bi đỏ là $\frac{5}{15}$. - Từ hộp II, xác suất lấy được một viên bi đỏ là $\frac{6}{18}$. - Do đó, xác suất để lấy được hai viên bi đỏ là $\frac{5}{15} \times \frac{6}{18} = \frac{30}{270}$. 3. Xác suất để lấy được hai viên bi xanh: - Từ hộp I, xác suất lấy được một viên bi xanh là $\frac{6}{15}$. - Từ hộp II, xác suất lấy được một viên bi xanh là $\frac{5}{18}$. - Do đó, xác suất để lấy được hai viên bi xanh là $\frac{6}{15} \times \frac{5}{18} = \frac{30}{270}$. Xác suất để lấy được hai viên bi có cùng màu là tổng của xác suất để lấy được hai viên bi trắng, hai viên bi đỏ và hai viên bi xanh. Do đó, xác suất để lấy được hai viên bi có cùng màu là $\frac{28}{270} + \frac{30}{270} + \frac{30}{270} = \frac{88}{270}$. Rút gọn phân số $\frac{88}{270}$, ta được $\frac{44}{135}$. Vậy, xác suất để lấy được hai viên bi có cùng màu là $\frac{44}{135}$. Tính $T = a + b$, ta có $T = 44 + 135 = 179$. Vậy, $T = 179$.