giải bài tập

Từ đồ thị, ta thấy rằng hàm số $f(x)$ có điểm cực tiểu tại $x=-2$ và hàm số $g(x)$ có điểm cực đại tại $x=-2$. Theo định lý điều kiện đủ để có cực trị, ta có: - Đối với hàm số $f(x)$, ta có $f'(-2)=0$ và $f''(-2)>0$. - Đối với hàm số $g(x)$, ta có $g'(-2)=0$ và $g''(-2)< 0$. Tính đạo hàm của $f(x)$ và $g(x)$: $f'(x) = 3ax^2 + b$, $f''(x) = 6ax$. $g'(x) = 3bx^2 + a$, $g''(x) = 6bx$. Áp dụng điều kiện cực trị, ta có: $f'(-2) = 3a(-2)^2 + b = 12a + b = 0$, $f''(-2) = 6a(-2) = -12a > 0 \Rightarrow a > 0$. $g'(-2) = 3b(-2)^2 + a = 12b + a = 0$, $g''(-2) = 6b(-2) = -12b < 0 \Rightarrow b < 0$. Từ hệ phương trình trên, ta có: $12a + b = 0 \Rightarrow b = -12a$. $12b + a = 0 \Rightarrow a = -12b$. Thay $b = -12a$ vào phương trình $a = -12b$, ta được: $a = -12(-12a) \Rightarrow a = \frac{1}{144}$. Thay $a = \frac{1}{144}$ vào phương trình $b = -12a$, ta được: $b = -12\left(\frac{1}{144}\right) = -\frac{1}{12}$. Vậy, ta có $a = \frac{1}{144}$ và $b = -\frac{1}{12}$. Do $a > 0$ và $b < 0$, nên đáp án đúng là $A.~(-\infty;-2]$. Đáp án: A Câu 41: Đặt $u = \ln x$ thì $du = \frac{dx}{x}$, khi $x = 1$ thì $u = 0$, khi $x = e$ thì $u = 1$. Khi đó, tích phân trở thành: $\int^e_1\frac{f(\ln x)}xdx = \int^1_0 f(u)du.$ Theo đề bài, tổng diện tích miền kẻ sọc bằng $\frac73$, tức là: $\int^1_0 f(u)du = \frac73.$ Vậy giá trị của $\int^e_1\frac{f(\ln x)}xdx$ bằng $\frac73$. Câu 42: Ta có: $|z_1+2z_2|=4 \Rightarrow |z_1+2z_2|^2=16.$ $(z_1+2z_2)(\overline{z_1+2z_2})=16.$ $z_1\overline{z_1}+2z_1\overline{z_2}+2z_2\overline{z_1}+4z_2\overline{z_2}=16.$ $|z_1|^2+2z_1\overline{z_2}+2\overline{z_1}z_2+|z_2|^2=16.$ $4+2z_1\overline{z_2}+2\overline{z_1}z_2+4=16.$ $2(z_1\overline{z_2}+\overline{z_1}z_2)=8.$ $z_1\overline{z_2}+\overline{z_1}z_2=4.$ Ta cần tính $|2z_1-z_2|^2$: $|2z_1-z_2|^2=(2z_1-z_2)(\overline{2z_1-z_2}).$ $=4z_1\overline{z_1}-2z_1\overline{z_2}-2\overline{z_1}z_2+|z_2|^2.$ $=4|z_1|^2-2(z_1\overline{z_2}+\overline{z_1}z_2)+|z_2|^2.$ $=4.4-2.4+4=24.$ $\Rightarrow |2z_1-z_2|=\sqrt{24}=2\sqrt6.$ Vậy đáp án là $B$. Câu 43: Tam giác MA'C đều cạnh $2a\sqrt3$ nên diện tích của nó là $\frac{1}{2}(2a\sqrt3)^2\sqrt3 = 6a^2\sqrt3$. Mặt khác, diện tích tam giác MA'C cũng bằng A'C.AM.sin$\widehat{A'MA}$, trong đó AM = $\frac{a\sqrt3}{2}$ (do tam giác ABC đều cạnh a), A'M = $a\sqrt3$ (do tam giác MA'C đều cạnh $2a\sqrt3$), và $\widehat{A'MA}$ = 60 độ (do tam giác MA'C đều). Thay vào ta được $6a^2\sqrt3 = a\sqrt3.2a\sqrt3.\frac{\sqrt3}{2}$, đúng. Vậy chiều cao của lăng trụ là A'M = $a\sqrt3$. Diện tích đáy là diện tích tam giác đều ABC, bằng $\frac{a^2\sqrt3}{4}$. Thể tích khối lăng trụ là diện tích đáy nhân với chiều cao, bằng $\frac{a^2\sqrt3}{4}.a\sqrt3 = 3a^3$. Đáp số là $12a^3\sqrt3$. Đáp án: C