giup tôi cau này với

Câu 12: Để giải bài toán này, ta cần tìm tọa độ điểm \( D(a; b; c) \) sao cho hình thang \( ABCD \) vuông tại \( A \) và \( B \) có diện tích bằng \( 6\sqrt{2} \). Bước 1: Xác định các vectơ và điều kiện vuông góc Hình thang \( ABCD \) vuông tại \( A \) và \( B \), do đó: - \( \overrightarrow{AB} \) vuông góc với \( \overrightarrow{AD} \) - \( \overrightarrow{BC} \) vuông góc với \( \overrightarrow{CD} \) Tính các vectơ: - \( \overrightarrow{AB} = (2 - 1; 0 - 2; -1 - 1) = (1; -2; -2) \) - \( \overrightarrow{BC} = (6 - 2; 1 - 0; 0 + 1) = (4; 1; 1) \) - \( \overrightarrow{AC} = (6 - 1; 1 - 2; 0 - 1) = (5; -1; -1) \) Bước 2: Điều kiện vuông góc 1. \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0 \) \[ (1; -2; -2) \cdot (a - 1; b - 2; c - 1) = 0 \] \[ 1(a - 1) - 2(b - 2) - 2(c - 1) = 0 \] \[ a - 1 - 2b + 4 - 2c + 2 = 0 \] \[ a - 2b - 2c + 5 = 0 \quad \text{(1)} \] 2. \( \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = 0 \) \[ (4; 1; 1) \cdot (a - 6; b - 1; c - 0) = 0 \] \[ 4(a - 6) + 1(b - 1) + 1c = 0 \] \[ 4a - 24 + b - 1 + c = 0 \] \[ 4a + b + c = 25 \quad \text{(2)} \] Bước 3: Diện tích hình thang Diện tích hình thang \( ABCD \) là: \[ S = \frac{1}{2} \times (AB + CD) \times h = 6\sqrt{2} \] Tính độ dài \( AB \): \[ AB = \sqrt{(1)^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3 \] Giả sử \( CD = x \), chiều cao \( h = \sqrt{2} \) (vì diện tích là \( 6\sqrt{2} \)): \[ \frac{1}{2} \times (3 + x) \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \] \[ (3 + x) \times \sqrt{2} = 12\sqrt{2} \] \[ 3 + x = 12 \Rightarrow x = 9 \] Bước 4: Tìm tọa độ \( D \) Từ (1) và (2), giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} a - 2b - 2c = -5 \\ 4a + b + c = 25 \end{cases} \] Giải hệ phương trình này để tìm \( a, b, c \). Kết luận Sau khi giải hệ phương trình, ta tìm được tọa độ \( D(a; b; c) \) thỏa mãn các điều kiện đã cho. Đáp số sẽ là một trong các mệnh đề đúng về tọa độ của \( D \).