Giải chi tiết nha

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu: a) Chứng minh \( A, B, C \) tạo thành một tam giác Để chứng minh ba điểm \( A, B, C \) tạo thành một tam giác, ta cần chứng minh rằng ba điểm này không thẳng hàng. Điều này có nghĩa là không tồn tại một số \( k \) sao cho: \[ \overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{AC} \] Tính các vectơ: \[ \overrightarrow{AB} = (3 - 1, 5 - 2, -2 - 3) = (2, 3, -5) \] \[ \overrightarrow{AC} = (1 - 1, 0 - 2, 0 - 3) = (0, -2, -3) \] Nếu \( \overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{AC} \), thì: \[ (2, 3, -5) = k \cdot (0, -2, -3) \] Điều này dẫn đến hệ phương trình: \[ \begin{cases} 2 = 0 \cdot k \\ 3 = -2k \\ -5 = -3k \end{cases} \] Phương trình đầu tiên không có nghiệm vì \( 2 \neq 0 \). Do đó, không tồn tại \( k \) thỏa mãn, tức là ba điểm không thẳng hàng và tạo thành một tam giác. b) Tìm tọa độ trọng tâm của \(\Delta ABC\) Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) có tọa độ được tính bằng công thức: \[ G\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3} \right) \] Với \( A(1, 2, 3) \), \( B(3, 5, -2) \), \( C(1, 0, 0) \), ta có: \[ G\left( \frac{1 + 3 + 1}{3}, \frac{2 + 5 + 0}{3}, \frac{3 - 2 + 0}{3} \right) = G\left( \frac{5}{3}, \frac{7}{3}, \frac{1}{3} \right) \] c) Tìm góc \( \angle ABC \) Góc \( \angle ABC \) được tính bằng công thức: \[ \cos \angle ABC = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}|} \] Tính các vectơ: \[ \overrightarrow{BA} = (1 - 3, 2 - 5, 3 + 2) = (-2, -3, 5) \] \[ \overrightarrow{BC} = (1 - 3, 0 - 5, 0 + 2) = (-2, -5, 2) \] Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-2)(-2) + (-3)(-5) + (5)(2) = 4 + 15 + 10 = 29 \] Tính độ dài các vectơ: \[ |\overrightarrow{BA}| = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38} \] \[ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-2)^2 + (-5)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 25 + 4} = \sqrt{33} \] Do đó: \[ \cos \angle ABC = \frac{29}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{33}} \] d) Tìm chu vi \(\Delta ABC\) Chu vi của tam giác \( ABC \) là tổng độ dài các cạnh: \[ AB = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-5)^2} = \sqrt{38} \] \[ BC = |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-2)^2 + (-5)^2 + 2^2} = \sqrt{33} \] \[ CA = |\overrightarrow{CA}| = \sqrt{(1-1)^2 + (0-2)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{13} \] Chu vi \( P \) là: \[ P = AB + BC + CA = \sqrt{38} + \sqrt{33} + \sqrt{13} \] Vậy, chu vi của tam giác \( ABC \) là \( \sqrt{38} + \sqrt{33} + \sqrt{13} \).