Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số y= 2x + 1 - căn 2x bình -8

Câu 28. Để tìm tọa độ các đỉnh của lát cắt dãy núi, ta cần tìm các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số $y = h(x)$ bằng 0. Đạo hàm của hàm số $y = h(x)$ là: $h'(x) = -\frac{3}{1320000}x^2 + \frac{18}{3520}x - \frac{81}{44}.$ Đặt $h'(x) = 0$, ta được phương trình: $-\frac{3}{1320000}x^2 + \frac{18}{3520}x - \frac{81}{44} = 0.$ Nhân cả hai vế của phương trình với $1320000$ để khử mẫu số, ta được: $-3x^2 + \frac{18 \cdot 1320000}{3520}x - \frac{81 \cdot 1320000}{44} = 0.$ Rút gọn các hệ số, ta được: $-3x^2 + 5400x - 2430000 = 0.$ Đây là một phương trình bậc hai, ta có thể sử dụng công thức nghiệm bậc hai để tìm nghiệm: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$ Ở đây, $a = -3$, $b = 5400$, $c = -2430000$. Thay vào công thức, ta được: $x = \frac{-5400 \pm \sqrt{(5400)^2 - 4(-3)(-2430000)}}{2(-3)}.$ Tính toán trong máy tính, ta được hai nghiệm: $x_1 \approx 1800$ và $x_2 \approx 450$. Thay $x_1 = 1800$ và $x_2 = 450$ vào hàm số $y = h(x)$, ta được: $y_1 = h(1800) = -\frac{1}{1320000}(1800)^3 + \frac{9}{3520}(1800)^2 - \frac{81}{44} \cdot 1800 + 840 = \frac{15315}{16},$ $y_2 = h(450) = -\frac{1}{1320000}(450)^3 + \frac{9}{3520}(450)^2 - \frac{81}{44} \cdot 450 + 840 = \frac{7365}{16}.$ Vậy, tọa độ các đỉnh của lát cắt dãy núi trên đoạn $[0;2000]$ là $(1800;\frac{15315}{16})$ và $(450;\frac{7365}{16})$. Đáp án: D. Câu 29. Đầu tiên, ta cần tìm tập xác định của hàm số $y=2x+1-\sqrt{2x^2-8}$. Điều kiện xác định của hàm số là $2x^2 - 8 \geq 0$. Giải bất phương trình $2x^2 - 8 \geq 0$, ta được: $2x^2 \geq 8 \Rightarrow x^2 \geq 4 \Rightarrow x \leq -2$ hoặc $x \geq 2$. Vậy tập xác định của hàm số là $D = (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$. Tiếp theo, ta tính đạo hàm của hàm số: $y' = 2 - \frac{2x}{\sqrt{2x^2 - 8}}$. Để tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số, ta xét dấu của đạo hàm $y'$. Ta thấy $y'$ luôn âm trên các khoảng $(-\infty; -2)$ và $(2; +\infty)$, do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng này. Vậy chọn đáp án B. Câu 30. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb R$ khi và chỉ khi $y' \leq 0$ với mọi $x \in \mathbb R$. Ta có $y' = -x^2 + 2mx + 3m + 2$. Yêu cầu bài toán tương đương với $y' \leq 0$ với mọi $x \in \mathbb R$. Điều này xảy ra khi và chỉ khi $\Delta' = m^2 - (3m + 2) \leq 0$. Giải bất phương trình này, ta được: $m^2 - 3m - 2 \leq 0$. $\Leftrightarrow (m + 1)(m - 2) \leq 0$. $\Leftrightarrow -1 \leq m \leq 2$. So với các đáp án, ta thấy đáp án đúng là $\boxed{A}$. Câu 31. Hàm số đồng biến trên $\mathbb R$ khi và chỉ khi $y' \geq 0$ với mọi $x \in \mathbb R$. Ta có $y' = 3x^2 - 6x + 3(m+1)$. Yêu cầu bài toán tương đương với $y' \geq 0$ với mọi $x \in \mathbb R$. Xét tam thức bậc hai $f(x) = 3x^2 - 6x + 3(m+1)$. Ta có $\Delta' = 9 - 9(m+1) = -9m$. Để $f(x) \geq 0$ với mọi $x \in \mathbb R$ thì $\Delta' \leq 0 \Leftrightarrow -9m \leq 0 \Leftrightarrow m \geq 0$. Vậy điều kiện của tham số thực $m$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb R$ là $m \geq 0$. Đáp án: D. Câu 32. Hàm số $y=\frac{x+2}{x+5m}$ xác định khi $x+5m \neq 0 \Rightarrow x \neq -5m$. Để hàm số đồng biến trên khoảng $(a; b)$ thì $y' > 0$ trên khoảng $(a; b)$. Ta có $y' = \frac{-5m}{(x+5m)^2}$. Để $y' > 0$ thì $-5m > 0 \Rightarrow m < 0$. Vậy để hàm số đồng biến trên khoảng $(a; b)$ thì $m < 0$. Bây giờ ta tìm số giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn $m < 0$. Vì $m$ là số nguyên âm nên các giá trị của $m$ là $-1, -2, -3, ...$. Vậy có vô số giá trị nguyên của $m$ để hàm số đồng biến trên khoảng $(a; b)$. Tuy nhiên, theo yêu cầu của bài toán, chỉ yêu cầu tìm số giá trị nguyên của $m$. Vậy số giá trị nguyên của $m$ là vô số.