. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: 5x^2 +2y^2 +2x−3y−2 và 2x^2 +5y^2 +12x−11y+16 đều là số chính phương.

Đầu tiên, ta có thể thấy rằng cả hai biểu thức đều là các biểu thức bậc hai với các hệ số là các số nguyên. Để chúng cùng lúc là các số chính phương, thì chúng phải có giá trị bằng nhau. Tức là: $5x^2 +2y^2 +2x−3y−2 = 2x^2 +5y^2 +12x−11y+16.$ Sau khi sắp xếp lại, ta được: $3x^2 - 3y^2 + 10x - 8y - 18 = 0.$ Chia cả hai vế cho 3, ta được: $x^2 - y^2 + \frac{10}{3}x - \frac{8}{3}y - 6 = 0.$ Điều này không thể xảy ra vì vế trái là một biểu thức bậc hai với các hệ số là các số hữu tỉ, trong khi vế phải là một số nguyên. Như vậy, ta thấy rằng điều kiện đầu tiên là không thể thỏa mãn. Tuy nhiên, ta có thể thấy rằng cả hai biểu thức đều là các biểu thức bậc hai với các hệ số là các số nguyên. Để chúng cùng lúc là các số chính phương, thì chúng phải có giá trị bằng nhau. Tức là: Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác.