Câu 6. Một công ty chuyên sản xuất dụng cụ thể thao nhận được đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng rổ. Công ty có một số máy móc, mỗi máy có khả năng sản xuất 30 bóng rổ trong một giờ. Chi phí thiết lậ...

Lang QuangGọi nnn là số máy công ty sử dụng. Với mỗi máy sản xuất được 30 quả bóng/giờ, thời gian cần thiết để sản xuất 8000 quả bóng là:

t=800030n=8003n giờ.t = \frac{8000}{30n} = \frac{800}{3n} \, \text{giờ.}t=30n8000​=3n800​giờ.

1. Chi phí thiết lập máy:

Mỗi máy có chi phí thiết lập là 200 nghìn đồng, nên chi phí thiết lập tổng cộng là:

Csetup=200n (nghıˋn đoˆˋng).C_{\text{setup}} = 200n \, \text{(nghìn đồng).}Csetup​=200n(nghıˋn đoˆˋng).

2. Chi phí giám sát:

Chi phí giám sát là 192 nghìn đồng/giờ và hoạt động sản xuất diễn ra trong t=8003nt = \frac{800}{3n}t=3n800​ giờ, nên chi phí giám sát là:

Csupervisor=192⋅8003n=153600n (nghıˋn đoˆˋng).C_{\text{supervisor}} = 192 \cdot \frac{800}{3n} = \frac{153600}{n} \, \text{(nghìn đồng).}Csupervisor​=192⋅3n800​=n153600​(nghıˋn đoˆˋng).

3. Tổng chi phí:

Tổng chi phí hoạt động là:

C(n)=Csetup+Csupervisor=200n+153600n (nghıˋn đoˆˋng).C(n) = C_{\text{setup}} + C_{\text{supervisor}} = 200n + \frac{153600}{n} \, \text{(nghìn đồng).}C(n)=Csetup​+Csupervisor​=200n+n153600​(nghıˋn đoˆˋng).

Tìm số máy nnn để chi phí thấp nhất

a) Đạo hàm hàm chi phí C(n)C(n)C(n):

Tính đạo hàm của C(n)C(n)C(n):

C′(n)=200−153600n2.C'(n) = 200 - \frac{153600}{n^2}.C′(n)=200−n2153600​.

b) Xác định các điểm tới hạn:

Giải phương trình C′(n)=0C'(n) = 0C′(n)=0:

200−153600n2=0 ⟹ 153600n2=200 ⟹ n2=153600200=768.200 - \frac{153600}{n^2} = 0 \implies \frac{153600}{n^2} = 200 \implies n^2 = \frac{153600}{200} = 768.200−n2153600​=0⟹n2153600​=200⟹n2=200153600​=768.

Do đó:

n=768≈27.7.n = \sqrt{768} \approx 27.7.n=768

​≈27.7.

Vì nnn phải là số nguyên, ta thử n=27n = 27n=27 và n=28n = 28n=28 để tìm chi phí thấp nhất.

c) Tính chi phí cho n=27n = 27n=27 và n=28n = 28n=28:

• Khi n=27n = 27n=27:

C(27)=200(27)+15360027=5400+5688.89≈11088.89 (nghıˋn đoˆˋng).C(27) = 200(27) + \frac{153600}{27} = 5400 + 5688.89 \approx 11088.89 \, \text{(nghìn đồng).}C(27)=200(27)+27153600​=5400+5688.89≈11088.89(nghıˋn đoˆˋng).

• Khi n=28n = 28n=28:

C(28)=200(28)+15360028=5600+5485.71≈11085.71 (nghıˋn đoˆˋng).C(28) = 200(28) + \frac{153600}{28} = 5600 + 5485.71 \approx 11085.71 \, \text{(nghìn đồng).}C(28)=200(28)+28153600​=5600+5485.71≈11085.71(nghıˋn đoˆˋng).

Kết luận

Chi phí thấp nhất đạt được khi công ty sử dụng 28 máy, với tổng chi phí xấp xỉ 11,085.71 nghìn đồng.