Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: B=2025/( 4x-5)^2+3

Question

o-e4 · Accepted Answer

với mọi x ta có

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
( 4x-5)^{2} \geqslant 0\
( 4x-5)^{2} +3\geqslant 3\
\frac{1}{( 4x-5)^{2} +3} \leqslant \frac{1}{3}\
\frac{2025}{( 4x-5)^{2} +3} \leqslant \frac{2025}{3} =675\
hay\ B\leqslant 675
\end{array}$

đẳng thức xảy ra khi 4x-5=0 hay x=1,25

vậy MaxB=675 xảy ra tại x=1,25

Timi · Answer

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $ B = \frac{2025}{(4x - 5)^2} + 3 $, chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):
   Biểu thức $ B $ có chứa một phân thức, do đó ta cần đảm bảo rằng mẫu số không bằng 0:
   $$
   (4x - 5)^2 \neq 0
   $$
   Điều này có nghĩa là:
   $$
   4x - 5 \neq 0 \implies x \neq \frac{5}{4}
   $$

2. Phân tích biểu thức:
   Ta thấy rằng $ (4x - 5)^2 $ luôn luôn là một số không âm vì bình phương của bất kỳ số nào cũng không âm. Do đó, $ (4x - 5)^2 \geq 0 $.

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của mẫu số:
   Giá trị nhỏ nhất của $ (4x - 5)^2 $ là 0, nhưng như đã nói ở trên, $ (4x - 5)^2 $ không thể bằng 0 vì $ x \neq \frac{5}{4} $. Vì vậy, $ (4x - 5)^2 $ luôn luôn lớn hơn 0.

4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
   Khi $ (4x - 5)^2 $ càng nhỏ, thì $ \frac{2025}{(4x - 5)^2} $ càng lớn. Tuy nhiên, $ (4x - 5)^2 $ không thể bằng 0, nên giá trị nhỏ nhất của $ (4x - 5)^2 $ là một số rất nhỏ gần 0.

Do đó, khi $ (4x - 5)^2 $ tiếp cận 0, $ \frac{2025}{(4x - 5)^2} $ sẽ tiếp cận vô cùng lớn. Tuy nhiên, trong thực tế, biểu thức $ B $ sẽ không đạt đến giá trị vô cùng lớn mà chỉ tiếp cận nó.

Vì vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức $ B $ là khi $ (4x - 5)^2 $ tiếp cận 0, tức là:
   $$
   B \approx \frac{2025}{0^+} + 3 = \infty + 3 = \infty
   $$

Như vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức $ B $ là vô cùng lớn, nhưng trong thực tế, biểu thức $ B $ sẽ tiếp cận giá trị lớn nhất khi $ (4x - 5)^2 $ tiếp cận 0.

Đáp số: $ B $ tiếp cận giá trị lớn nhất khi $ (4x - 5)^2 $ tiếp cận 0.