Giải câu hỏi

Để giải câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một cách chi tiết. Bước 1: Xác định quy luật của dãy số trong phân thức. Ta thấy: - $\frac{1}{1 \cdot 5} = \frac{1}{5}$ - $\frac{1}{5 \cdot 10} = \frac{1}{50}$ - $\frac{1}{10 \cdot 15} = \frac{1}{150}$ - ... - $\frac{1}{95 \cdot 100} = \frac{1}{9500}$ Nhìn vào các phân số này, ta nhận thấy rằng mỗi phân số có dạng $\frac{1}{n(n+5)}$, với $n$ là số tự nhiên bắt đầu từ 1 và tăng dần theo khoảng cách 5. Bước 2: Tính tổng của dãy số này. Ta có thể sử dụng phương pháp phân tích để tính tổng của dãy số này: \[ \frac{1}{n(n+5)} = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+5} \right) \] Áp dụng phương pháp này cho từng phân số trong dãy: \[ \frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 10} + \frac{1}{10 \cdot 15} + ... + \frac{1}{95 \cdot 100} \] \[ = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{6} \right) + \frac{1}{5} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{10} \right) + \frac{1}{5} \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{15} \right) + ... + \frac{1}{5} \left( \frac{1}{95} - \frac{1}{100} \right) \] Khi cộng tất cả các phân số này lại, ta nhận thấy rằng các phân số giữa sẽ bị triệt tiêu: \[ = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{100} \right) \] \[ = \frac{1}{5} \left( 1 - \frac{1}{100} \right) \] \[ = \frac{1}{5} \left( \frac{100 - 1}{100} \right) \] \[ = \frac{1}{5} \cdot \frac{99}{100} \] \[ = \frac{99}{500} \] Bước 3: Tính tổng của dãy số lẻ từ 1 đến 99. Dãy số lẻ từ 1 đến 99 là: 1, 3, 5, 7, ..., 99. Số lượng các số trong dãy là: \[ \frac{99 - 1}{2} + 1 = 50 \] Tổng của dãy số lẻ từ 1 đến 99 là: \[ 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 99 = 50^2 = 2500 \] Bước 4: Kết hợp các kết quả đã tìm được. \[ P = \left( \frac{99}{500} \right) \cdot \frac{2500}{25} \] \[ = \frac{99}{500} \cdot 100 \] \[ = \frac{99 \cdot 100}{500} \] \[ = \frac{9900}{500} \] \[ = \frac{99}{5} \] Vậy kết quả cuối cùng là: \[ P = \frac{99}{5} \]