Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng 1. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính góc giữa MN và BC.

Đặt $\displaystyle \overrightarrow{AD} =\vec{a} ;\ \overrightarrow{AB} =\vec{b} ;\ \overrightarrow{AC} =\vec{c}$
Khi đó ta có: 
$\displaystyle \vec{a} .\vec{b} =\vec{b} .\vec{c} =\vec{c} .\vec{a} =\frac{1}{2} .1^{2} =\frac{1}{2}$ và $\displaystyle \vec{a}^{2} =\vec{b}^{2} =\vec{c}^{2} =1$
Vì M, N là trung điểm của AB, CD nên 
$\displaystyle \overrightarrow{MN} =\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD} +\overrightarrow{BC})$
Hay $\displaystyle \overrightarrow{MN} =\frac{1}{2}(\vec{a} +\vec{c} -\vec{b})$
Vậy, $\displaystyle MN=\overrightarrow{MN}^{2}$
$\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\vec{a}^{2} +\vec{c}^{2} +\vec{b}^{2} +2\vec{a} .\vec{c} -2\vec{a} .\vec{b} -2\vec{b} .\vec{c}\right)$
$\displaystyle =\frac{1}{4}\left( 1^{2} +1^{2} +1^{2} +1^{2} -1^{2} -1^{2} -1^{2}\right)$
$\displaystyle =\frac{2.1^{2}}{4} =\frac{\sqrt{2}}{2}$
Ta có: 
$\displaystyle \overrightarrow{MN} .\overrightarrow{BC} =\frac{1}{2}\left( -\vec{a} .\vec{b} -\vec{b} .\vec{c} +\vec{b}^{2} +\vec{a} .\vec{c} -\vec{b} .\vec{c}\right)$
$\displaystyle =\frac{1}{2}\left( -\vec{a} .\vec{b} -\vec{b} .\vec{c} +\vec{b}^{2} +\vec{a} .\vec{c} +\vec{c}^{2} -\vec{b} .\vec{c}\right)$
$\displaystyle =\frac{1}{2}\left( -\frac{1}{2} -\frac{1}{2} +1+\frac{1}{2} +1-\frac{1}{2}\right) =\frac{1}{2}$
Tức là: 
$\displaystyle | \overrightarrow{MN}| .\overrightarrow{|BC} |\cos(\overrightarrow{MN} ,\ \overrightarrow{BC}) =\frac{1}{2}$
Từ đó: $\displaystyle \cos(\overrightarrow{MN} ,\ \overrightarrow{BC}) =\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} =\frac{\sqrt{2}}{2}$
Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và BC bằng 45°.