Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm bất kì trên cạnh huyền BC. Gọi D và E lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M xuống AB và AC a) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao? b) Lấy điểm I sao cho...

a) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao? Tứ giác ADME là hình chữ nhật vì: - Các góc D và E đều là góc vuông (do MD và ME là đường vuông góc hạ từ M xuống AB và AC). - Góc A là góc vuông của tam giác ABC, do đó góc A cũng là góc vuông của tứ giác ADME. b) Lấy điểm I sao cho A là trung điểm của ID; điểm K sao cho M là trung điểm của EK. Chứng minh EI = DK và EI // DK. Ta có: - A là trung điểm của ID nên AI = AD. - M là trung điểm của EK nên ME = MK. Trong hình chữ nhật ADME, ta có: - AD = ME (do tính chất của hình chữ nhật). - Do đó, AI = ME = MK. Vì A là trung điểm của ID và M là trung điểm của EK, nên: - DK = AI + AK = ME + MK = 2ME. - EI = ME + MI = ME + MK = 2ME. Do đó, EI = DK. Vì A là trung điểm của ID và M là trung điểm của EK, nên: - DK // ME (do tính chất của trung điểm). - ME // EI (do tính chất của hình chữ nhật). Do đó, EI // DK. c) Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AM. Chứng minh các điểm K, O, I thẳng hàng. Ta có: - O là trung điểm của AM, nên AO = OM. - A là trung điểm của ID, nên AI = AD. - M là trung điểm của EK, nên ME = MK. Trong tam giác AID, ta có: - AO = OM (O là trung điểm của AM). - AI = AD (A là trung điểm của ID). Do đó, O là trung điểm của đoạn thẳng AI. Trong tam giác EKM, ta có: - OM = OA (O là trung điểm của AM). - ME = MK (M là trung điểm của EK). Do đó, O là trung điểm của đoạn thẳng MK. Vì O là trung điểm của cả đoạn thẳng AI và MK, nên các điểm K, O, I thẳng hàng. Đáp số: a) Tứ giác ADME là hình chữ nhật. b) EI = DK và EI // DK. c) Các điểm K, O, I thẳng hàng.