Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm bất kì trên cạnh huyền BC. Gọi D và E lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M xuống AB và AC a) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao? b) Lấy điểm I sao cho A là trung điểm của ID; điểm K sao cho M là trung điểm của EK. Chứng minh EI = DK và EI // DK. c) Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AM. Chứng minh các điểm K, O, I thẳng hàng

Question

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm bất kì trên cạnh huyền BC. Gọi D và E lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M xuống AB và AC
a) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?
b) Lấy điểm I sao cho A là trung điểm của ID; điểm K sao cho M là trung điểm của EK. Chứng minh EI = DK và EI // DK.
c) Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AM. Chứng minh các điểm K, O, I thẳng hàng <img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/11d3c30fd9534ed7b8bb2e8f1b92cf78.jpg />

thientran99 · Accepted Answer

a)
Tam giác ABC vuông tại A $\displaystyle \Longrightarrow \widehat{DAE} =90^{0}$
Có: $\displaystyle \begin{cases}
MD\bot AB & \
ME\bot AC &
\end{cases} \Longrightarrow \widehat{MDB} =\widehat{MDA} =\widehat{MEA} =\widehat{MEC} =90^{0}$
Xét tứ giác ADME, có:
$\displaystyle \widehat{DAE} =\widehat{MDA} =\widehat{MEA} =90^{0}$
⟹ ADME là hình chữ nhật
b)
Vì ADME là hình chữ nhật ⟹ $\displaystyle \begin{cases}
DA//ME & \
DA=ME &
\end{cases}$
Có: A là trung điểm DI ⟹ DI=2DA
M là trung điểm KE ⟹ KE=2ME
mà DA=ME ⟹ DI=KE
Xét tứ giác DKEI, có:
DI=KE
DI//KE (do DA//ME)
⟹ DKEI là hình bình hành
⟹ $\displaystyle \begin{cases}
DK//IE & \
DK=IE &
\end{cases}$
c)
Vì ADME là hình chữ nhật ⟹ DE và AM cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
mà O là trung điểm của AM ⟹ O là trung điểm DE
Vì DKEI là hình bình hành ⟹ DE và KI cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
mà O là trung điểm DE ⟹ O là trung điểm KI hay K,O,I thẳng hàng

Timi · Answer

a) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?

Tứ giác ADME là hình chữ nhật vì:
- Các góc D và E đều là góc vuông (do MD và ME là đường vuông góc hạ từ M xuống AB và AC).
- Góc A là góc vuông của tam giác ABC, do đó góc A cũng là góc vuông của tứ giác ADME.

b) Lấy điểm I sao cho A là trung điểm của ID; điểm K sao cho M là trung điểm của EK. Chứng minh EI = DK và EI // DK.

Ta có:
- A là trung điểm của ID nên AI = AD.
- M là trung điểm của EK nên ME = MK.

Trong hình chữ nhật ADME, ta có:
- AD = ME (do tính chất của hình chữ nhật).
- Do đó, AI = ME = MK.

Vì A là trung điểm của ID và M là trung điểm của EK, nên:
- DK = AI + AK = ME + MK = 2ME.
- EI = ME + MI = ME + MK = 2ME.

Do đó, EI = DK.

Vì A là trung điểm của ID và M là trung điểm của EK, nên:
- DK // ME (do tính chất của trung điểm).
- ME // EI (do tính chất của hình chữ nhật).

Do đó, EI // DK.

c) Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AM. Chứng minh các điểm K, O, I thẳng hàng.

Ta có:
- O là trung điểm của AM, nên AO = OM.
- A là trung điểm của ID, nên AI = AD.
- M là trung điểm của EK, nên ME = MK.

Trong tam giác AID, ta có:
- AO = OM (O là trung điểm của AM).
- AI = AD (A là trung điểm của ID).

Do đó, O là trung điểm của đoạn thẳng AI.

Trong tam giác EKM, ta có:
- OM = OA (O là trung điểm của AM).
- ME = MK (M là trung điểm của EK).

Do đó, O là trung điểm của đoạn thẳng MK.

Vì O là trung điểm của cả đoạn thẳng AI và MK, nên các điểm K, O, I thẳng hàng.

Đáp số: 
a) Tứ giác ADME là hình chữ nhật.
b) EI = DK và EI // DK.
c) Các điểm K, O, I thẳng hàng.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm bất kì trên cạnh huyền BC. Gọi D và E lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M xuống AB và AC a) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao? b) Lấy điểm I sao cho...