giải chi tiết từng câu ạ

3. Xét tam giác ABC vuông tại B, ta có: \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41} \text{ m} \] Gọi khoảng cách giữa hai điểm sáng đầu tiên của hai chuỗi led là \( d \). Gọi thời gian từ thời điểm đóng nguồn điện đến khi khoảng cách giữa hai điểm sáng đầu tiên của hai chuỗi led là nhỏ nhất là \( t \) phút. Khi đó, khoảng cách từ B đến điểm sáng đầu tiên của chuỗi led chạy từ B xuống A là \( 4t \) m. Khoảng cách từ A đến điểm sáng đầu tiên của chuỗi led chạy từ A lên C là \( 10t \) m. Ta có: \[ d = \sqrt{(4 - 4t)^2 + (10t)^2} \] \[ d = \sqrt{16 - 32t + 16t^2 + 100t^2} \] \[ d = \sqrt{116t^2 - 32t + 16} \] Để khoảng cách \( d \) nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị của \( t \) sao cho \( d \) nhỏ nhất. Xét hàm số \( f(t) = 116t^2 - 32t + 16 \). Đạo hàm của \( f(t) \): \[ f'(t) = 232t - 32 \] Đặt \( f'(t) = 0 \): \[ 232t - 32 = 0 \] \[ t = \frac{32}{232} = \frac{4}{29} \text{ phút} \] Do đó, khoảng cách giữa hai điểm sáng đầu tiên của hai chuỗi led là nhỏ nhất sau: \[ t = \frac{4}{29} \times 60 = \frac{240}{29} \approx 8.28 \text{ giây} \] Đáp số: 8.28 giây 4. Ta có: \[ 1 \cdot C^1_{2n} + 2 \cdot C^2_{2n} + 3 \cdot C^3_{2n} + ... + n \cdot C^n_{2n} = 2^{68} \] Nhận thấy rằng: \[ k \cdot C^k_{2n} = 2n \cdot C^{k-1}_{2n-1} \] Do đó: \[ 1 \cdot C^1_{2n} + 2 \cdot C^2_{2n} + 3 \cdot C^3_{2n} + ... + n \cdot C^n_{2n} = 2n \left( C^0_{2n-1} + C^1_{2n-1} + ... + C^{n-1}_{2n-1} \right) \] Biểu thức trên là tổng của các tổ hợp chập \( k \) từ \( 0 \) đến \( n-1 \) trong \( 2n-1 \) phần tử, do đó: \[ C^0_{2n-1} + C^1_{2n-1} + ... + C^{n-1}_{2n-1} = 2^{2n-2} \] Vậy: \[ 2n \cdot 2^{2n-2} = 2^{68} \] \[ 2n = 2^{68-(2n-2)} \] \[ 2n = 2^{70-2n} \] Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác.