Bài 1:: Cho ∆ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC) và tia phân giác AD của HAC (D thuộc BC). Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AH. a) Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AH. Chứng minh rằng: AADH = AADE. và DE⊥AC b) Trên tia đối của tia HA lấy điểm F sao cho HF = EC. Chứng minh F,D,E thẳng hàng Bài 2:Cho ΔABC cân tại A. Gọi D là trung điểm của BC a)Chứng minh ΔADB = ΔADC. Chứng minh AD là phân giác của BAC b) Chứng minh AD ⊥ BC c) Trên cạnh AB và AC lấy lần lượt hai điểm M,N sao cho AM = AN. Gọi K là giao điểm của AD và MN. Chứng minh AD⊥MN d)Gọi O là trung điểm của BM, trên tia đối của tia CD lấy điểm P sao cho OD = OP. Chứng minh P,M,N thẳng hàng

Question

Timi · Accepted Answer

Bài 1:
a) Xét tam giác AHD và tam giác AED, ta có:
- AH = AE (theo đề bài)
- AD chung
- Góc HAD = góc EAD (vì AD là tia phân giác của góc HAC)

Do đó, tam giác AHD = tam giác AED (cạnh - góc - cạnh). Từ đây suy ra DE ⊥ AC (vì HD ⊥ AC).

b) Ta có HF = EC (theo đề bài) và HD = ED (vì tam giác AHD = tam giác AED). Do đó, tam giác HDF = tam giác EDC (cạnh - góc - cạnh). Từ đây suy ra góc HDF = góc EDC. Vì tổng của hai góc này là 180° (góc bẹt), nên F, D, E thẳng hàng.

Bài 2:
a) Chứng minh ΔADB = ΔADC:
- Ta có AB = AC (ΔABC cân tại A)
- BD = DC (D là trung điểm của BC)
- AD chung
Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ hai (cạnh - cạnh - cạnh), ta có ΔADB = ΔADC

Chứng minh AD là phân giác của BAC:
- Từ ΔADB = ΔADC, ta có ∠BAD = ∠CAD (hai góc tương ứng)
- Vậy AD là phân giác của ∠BAC

b) Chứng minh AD ⊥ BC:
- Từ ΔADB = ΔADC, ta có ∠ADB = ∠ADC (hai góc tương ứng)
- Mà ∠ADB + ∠ADC = 180° (hai góc kề bù)
- Do đó, ∠ADB = ∠ADC = 90°
- Vậy AD ⊥ BC

c) Chứng minh AD ⊥ MN:
- Ta có AM = AN (theo đề bài)
- AD là phân giác của ∠BAC (chứng minh ở phần a)
- Do đó, AD cũng là đường cao hạ từ đỉnh A xuống đáy MN của tam giác AMN (vì AM = AN)
- Vậy AD ⊥ MN

d) Chứng minh P, M, N thẳng hàng:
- Ta có O là trung điểm của BM, nên BO = OM
- Ta có OD = OP (theo đề bài)
- Xét ΔBOD và ΔPOM:
  - BO = OM (O là trung điểm của BM)
  - OD = OP (theo đề bài)
  - ∠BOD = ∠POM (hai góc đối đỉnh)
- Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ hai (cạnh - góc - cạnh), ta có ΔBOD = ΔPOM
- Từ đó, ta có BD = PM (hai cạnh tương ứng)
- Mà BD = DC (D là trung điểm của BC)
- Do đó, PM = DC
- Xét ΔPMC và ΔDCN:
  - PM = DC (chứng minh ở trên)
  - MC = NC (vì M và N đối xứng qua AD)
  - ∠PMC = ∠DCN (hai góc so le trong)
- Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ hai (cạnh - góc - cạnh), ta có ΔPMC = ΔDCN
- Từ đó, ta có ∠PMC = ∠DCN (hai góc tương ứng)
- Mà ∠PMC + ∠DCN = 180° (hai góc kề bù)
- Do đó, ∠PMC = ∠DCN = 90°
- Vậy P, M, N thẳng hàng

Đáp số: a) ΔADB = ΔADC, AD là phân giác của ∠BAC
         b) AD ⊥ BC
         c) AD ⊥ MN
         d) P, M, N thẳng hàng

mysim1hg1 · Answer

Bài 1:

a.Xét $ riangle A D H, riangle A H E$ có:

Chung $A D$

$$
\begin{aligned}
& \widehat{D A H}=\widehat{D A E} \
& A H=A E \
& ightarrow riangle A D H= riangle A D E(c . g . c)
\end{aligned}
$$

b.Từ a $ ightarrow D H=D E, \widehat{A E D}=\widehat{A H D}=90^{\circ} ightarrow D E \perp A C$
c.Từ a $ ightarrow A H=A E, D H=D E ightarrow A, D \in$ trung trực $H E$
d.vỉ $D H=D E ightarrow riangle D H E$ cân tại $D$

Xét $ riangle D E C, riangle D H F$ có:

$$
\begin{aligned}
& E C=H F \
& \hat{E}=\hat{H}\left(=90^{\circ} ight) \
& D E=D H \
& ightarrow \Delta D E C= riangle D H F( ext { c.g.c }) \
& ightarrow \widehat{E D C}=\widehat{H D F} \
& ightarrow E, D, F ext { thẳng hàng } \
& ightarrow \widehat{A H E}=\widehat{H E F}+\widehat{H F E}=\widehat{H E D}+\widehat{H F D}=\widehat{E H D}+\widehat{H F D}
\end{aligned}
$$

dreamflyhg1 · Answer

tam giác ABC

<p>Bài 1:: Cho ∆ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC) và tia phân giác AD của HAC (D thuộc BC). Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AH. a) Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AH. Chứng...