Cho tam giác ABC vuông tại A(ACAB).Kẻ AH vuông góc với BC(H thuộc BC), M là trung điểm của BC.BE vuông góc với AM(E thuộc AM),CK vuông góc với AM(K thuộc AM).CK cắt AH ở D.
1)Chứng minh BE=CK
2)Giả sử HB = HM, chứng minh
ΔACD cân

Question

Cho tam giác ABC vuông tại A(AC>AB).Kẻ AH vuông góc với BC(H thuộc BC), M là trung điểm của BC.BE vuông góc với AM(E thuộc AM),CK vuông góc với AM(K thuộc AM).CK cắt AH ở D.
1)Chứng minh BE=CK
2)Giả sử HB = HM, chứng minh
ΔACD cân

longtang-ngoc · Accepted Answer

1) Vì M là trung điểm của BC nên MB=MC
Xét $\displaystyle \vartriangle BEM$ vuông tại E và $\displaystyle \vartriangle CKM$ vuông tại K có:
MB=MC
$\displaystyle \widehat{BME} =\widehat{CMK}$ (2 góc đối đỉnh)
Do đó $\displaystyle \vartriangle BEM=\vartriangle CKM$ (cạnh huyền + góc nhọn)
$\displaystyle \Longrightarrow BE=CK$ (2 cạnh tương ứng)
2) Ta có: $\displaystyle \begin{cases}
\widehat{HAM} +\widehat{AMH} =90^{0} & \
\widehat{HAM} +\widehat{ADK} =90^{0} &
\end{cases} \Longrightarrow \widehat{AMH} =\widehat{ADK}$ (1)
$\displaystyle \begin{cases}
\widehat{HAB} +\widehat{ABH} =90^{0} & \
\widehat{HAB} +\widehat{HAC} =90^{0} &
\end{cases} \Longrightarrow \widehat{ABH} =\widehat{HAC}$ (2)
Xét $\displaystyle \vartriangle ABH$ vuông tại H và $\displaystyle \vartriangle AMH$ vuông tại H có:
AH: cạnh chung
BH=HM
Do đó $\displaystyle \vartriangle ABH=\vartriangle AMH$ (2 cạnh tương ứng)
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{ABH} =\widehat{AMH}$ (3)
Từ (1), (2) và (3) có: $\displaystyle \widehat{ADK} =\widehat{HAC} \Longrightarrow \widehat{ADC} =\widehat{DAC}$
$\displaystyle \Longrightarrow \vartriangle ADC$ cân tại C

Timi · Answer

1) Chứng minh BE = CK

- Ta có $ \triangle ABC $ vuông tại $ A $ và $ M $ là trung điểm của $ BC $. Do đó, $ AM $ là đường trung tuyến hạ từ đỉnh vuông góc của tam giác vuông, nên $ AM $ cũng là đường cao hạ từ đỉnh vuông góc của tam giác vuông.
- $ BE \perp AM $ và $ CK \perp AM $, do đó $ BE $ và $ CK $ là các đường cao hạ từ các đỉnh $ B $ và $ C $ xuống đường thẳng $ AM $.
- Vì $ M $ là trung điểm của $ BC $, nên $ BM = MC $. 
- $ BE $ và $ CK $ đều vuông góc với $ AM $, do đó $ BE $ và $ CK $ là các đường cao hạ từ các đỉnh $ B $ và $ C $ xuống đường thẳng $ AM $. 
- Do đó, $ BE = CK $ (vì chúng là các đường cao hạ từ các đỉnh $ B $ và $ C $ xuống đường thẳng $ AM $).

2) Giả sử $ HB = HM $, chứng minh $ \triangle ACD $ cân.

- Ta có $ HB = HM $, do đó $ H $ là trung điểm của $ BM $.
- $ AH \perp BC $, do đó $ AH $ là đường cao hạ từ đỉnh $ A $ xuống cạnh $ BC $.
- $ CK \perp AM $ và $ CK $ cắt $ AH $ ở $ D $, do đó $ D $ là giao điểm của $ CK $ và $ AH $.
- Vì $ HB = HM $, nên $ H $ là trung điểm của $ BM $. Do đó, $ H $ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $ BM $.
- $ AH $ là đường cao hạ từ đỉnh $ A $ xuống cạnh $ BC $, do đó $ AH $ là đường cao hạ từ đỉnh $ A $ xuống cạnh $ BC $.
- $ CK \perp AM $ và $ CK $ cắt $ AH $ ở $ D $, do đó $ D $ là giao điểm của $ CK $ và $ AH $.
- Vì $ H $ là trung điểm của $ BM $, nên $ H $ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $ BM $. Do đó, $ AD = CD $ (vì $ D $ là giao điểm của $ CK $ và $ AH $).
- Do đó, $ \triangle ACD $ cân tại $ D $.

Đáp số: $ \triangle ACD $ cân tại $ D $.

Cho tam giác ABC vuông tại A(AC>AB).Kẻ AH vuông góc với BC(H thuộc BC), M là trung điểm của BC.BE vuông góc với AM(E thuộc AM),CK vuông góc với AM(K thuộc AM).CK cắt AH ở D. 1)Chứng minh BE=CK 2)Giả sử...