Giup minh voi nhé

Câu 2. Để giải quyết các khẳng định trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định dựa trên các thông tin đã cho và các công thức liên quan đến diện tích và thể tích. Khẳng định a) \( S = -1 + e \) Diện tích \( S \) của hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = e^x \), \( x = 0 \), \( x = 1 \), và \( y = 0 \) được tính bằng tích phân: \[ S = \int_{0}^{1} e^x \, dx \] Tính tích phân này: \[ S = \left[ e^x \right]_{0}^{1} = e^1 - e^0 = e - 1 \] Vậy khẳng định a) là đúng. Khẳng định b) \( V = \pi (-1 + e) \) Thể tích \( V \) của khối tròn xoay khi quay hình phẳng \( S \) quanh trục \( Ox \) được tính bằng công thức: \[ V = \pi \int_{0}^{1} (e^x)^2 \, dx = \pi \int_{0}^{1} e^{2x} \, dx \] Tính tích phân này: \[ V = \pi \left[ \frac{e^{2x}}{2} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} \right) = \pi \left( \frac{e^2 - 1}{2} \right) \] Vậy khẳng định b) là sai vì \( V = \pi \left( \frac{e^2 - 1}{2} \right) \). Khẳng định c) \( S_1 = S - \int_{k}^{1} e^x \, dx \) Diện tích \( S_1 \) của hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = e^x \), \( x = 0 \), \( x = k \), và \( y = 0 \) được tính bằng tích phân: \[ S_1 = \int_{0}^{k} e^x \, dx \] Diện tích \( S_2 \) của hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = e^x \), \( x = k \), \( x = 1 \), và \( y = 0 \) được tính bằng tích phân: \[ S_2 = \int_{k}^{1} e^x \, dx \] Vì \( S = S_1 + S_2 \), nên: \[ S_1 = S - S_2 = S - \int_{k}^{1} e^x \, dx \] Vậy khẳng định c) là đúng. Khẳng định d) Với \( k = \ln \left( \frac{2 + e}{3} \right) \) thì \( S_2 = 2S_1 \) Ta có: \[ S_1 = \int_{0}^{k} e^x \, dx = e^k - 1 \] \[ S_2 = \int_{k}^{1} e^x \, dx = e - e^k \] Để \( S_2 = 2S_1 \): \[ e - e^k = 2(e^k - 1) \] \[ e - e^k = 2e^k - 2 \] \[ e + 2 = 3e^k \] \[ e^k = \frac{e + 2}{3} \] \[ k = \ln \left( \frac{e + 2}{3} \right) \] Vậy khẳng định d) là đúng. Kết luận - Khẳng định a) là đúng. - Khẳng định b) là sai. - Khẳng định c) là đúng. - Khẳng định d) là đúng. Câu 3. Ta xét tính đúng sai của các khẳng định sau: $5a)~\int^b_a(-3x^2+x+3)~dx=\int^b_a-x^3dx-\int^b_a\frac{x^2}2dx+\int^b_a3xdx.$ Khẳng định này sai vì $\int^b_a(-3x^2+x+3)~dx=-\int^b_a3x^2dx+\int^b_axdx+\int^b_a3dx$. $db)~I=(1-6x)|^b_a.$ Khẳng định này sai vì $I=(-x^3+\frac{x^2}2+3x)|^b_a$. $4~c)~I=a^3-\frac{a^2}2-3a-b^3+\frac{b^2}2+3b.$ Khẳng định này sai vì $I=b^3-\frac{b^2}2-3b-a^3+\frac{a^2}2+3a$. d ) ớii $a=-1,b=0$ thì $I=\frac32.$. Thay $a=-1,b=0$ vào biểu thức tính $I$ ta được $I=0^3-\frac{0^2}2-3\times 0-(-1)^3+\frac{(-1)^2}2+3\times (-1)=\frac32$. Vậy khẳng định này đúng. Câu 4. a) Đúng vì $\int9\sin x~dx=9\int\sin x~dx=-9\cos x+C.$ b) Sai vì $\int(2\sin x-4\cos x)dx=2\int\sin x~dx-4\int\cos x~dx=-2\cos x-4\sin x+C.$ c) Sai vì $\int(-5\tan^2x-1)dx=\int[-5(\tan^2x+1)]dx=-5\int(\tan^2x+1)dx=-5\tan x+C.$ d) Đúng vì $\int(-\sin x+2\cos x-1)dx=-\int\sin x~dx+2\int\cos x~dx-\int dx=\cos x+2\sin x-x+C.$ Mặt khác $F(\frac\pi3)=0$ nên $\cos \frac\pi3+2\sin \frac\pi3-\frac\pi3+C=0,$ suy ra $C=\frac\pi3-\frac52.$ Vậy $F(x)=\cos x+2\sin x-x+\frac\pi3-\frac52.$ Do đó $F(\frac\pi4)=\cos \frac\pi4+2\sin \frac\pi4-\frac\pi4+\frac\pi3-\frac52=\frac{3\sqrt2}2-\frac\pi{12}-\frac52\simeq 2,2.$ Câu 1. Để tìm một nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = -2x - \frac{1}{x^2} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( f(x) \). \[ F(x) = \int \left( -2x - \frac{1}{x^2} \right) dx \] Ta tính từng phần nguyên hàm: \[ \int -2x \, dx = -2 \cdot \frac{x^2}{2} = -x^2 \] \[ \int -\frac{1}{x^2} \, dx = -\int x^{-2} \, dx = -\left( \frac{x^{-1}}{-1} \right) = \frac{1}{x} \] Vậy: \[ F(x) = -x^2 + \frac{1}{x} + C \] Bước 2: Xác định hằng số \( C \) dựa trên điều kiện \( F(4) = 6 \). \[ F(4) = -(4)^2 + \frac{1}{4} + C = 6 \] \[ -16 + \frac{1}{4} + C = 6 \] \[ C = 6 + 16 - \frac{1}{4} = 22 - \frac{1}{4} = \frac{88}{4} - \frac{1}{4} = \frac{87}{4} \] Vậy: \[ F(x) = -x^2 + \frac{1}{x} + \frac{87}{4} \] Bước 3: Tính \( F(-1) \). \[ F(-1) = -(-1)^2 + \frac{1}{-1} + \frac{87}{4} = -1 - 1 + \frac{87}{4} = -2 + \frac{87}{4} = \frac{-8}{4} + \frac{87}{4} = \frac{79}{4} \] Bước 4: Tính \(\frac{F(-1)}{34}\). \[ \frac{F(-1)}{34} = \frac{\frac{79}{4}}{34} = \frac{79}{4 \times 34} = \frac{79}{136} \approx 0.581 \] Kết quả làm tròn đến hàng phần mười: \[ \frac{F(-1)}{34} \approx 0.6 \] Đáp số: \(\frac{F(-1)}{34} \approx 0.6\) Câu 2. Để tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 1 - 8x$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của $f(x)$. \[ F(x) = \int (1 - 8x) \, dx \] Ta tính nguyên hàm từng phần: \[ F(x) = \int 1 \, dx - \int 8x \, dx \] \[ F(x) = x - 4x^2 + C \] Trong đó, $C$ là hằng số nguyên hàm. Bước 2: Xác định hằng số $C$ dựa trên điều kiện $F(6) = -8$. Thay $x = 6$ vào $F(x)$: \[ F(6) = 6 - 4(6)^2 + C = -8 \] \[ 6 - 4 \cdot 36 + C = -8 \] \[ 6 - 144 + C = -8 \] \[ -138 + C = -8 \] \[ C = -8 + 138 \] \[ C = 130 \] Bước 3: Viết lại nguyên hàm $F(x)$ với hằng số $C$ đã tìm được. \[ F(x) = x - 4x^2 + 130 \] Bước 4: Tính $F(3)$. Thay $x = 3$ vào $F(x)$: \[ F(3) = 3 - 4(3)^2 + 130 \] \[ F(3) = 3 - 4 \cdot 9 + 130 \] \[ F(3) = 3 - 36 + 130 \] \[ F(3) = 97 \] Vậy, $F(3) = 97$. Câu 3. Để tính $\int^2_{-5} f(x) dx$, ta chia tích phân thành hai phần dựa trên miền xác định của hàm số $f(x)$. 1. Tính $\int^{-2}_{-5} f(x) dx$: - Trên khoảng $(-\infty, -2]$, hàm số $f(x) = -3x - 12$. - Ta có: \[ \int^{-2}_{-5} (-3x - 12) dx = \left[ -\frac{3}{2}x^2 - 12x \right]^{-2}_{-5} \] Thay cận vào: \[ \left( -\frac{3}{2}(-2)^2 - 12(-2) \right) - \left( -\frac{3}{2}(-5)^2 - 12(-5) \right) \] \[ = \left( -\frac{3}{2}(4) + 24 \right) - \left( -\frac{3}{2}(25) + 60 \right) \] \[ = \left( -6 + 24 \right) - \left( -\frac{75}{2} + 60 \right) \] \[ = 18 - \left( -37.5 + 60 \right) \] \[ = 18 - 22.5 \] \[ = -4.5 \] 2. Tính $\int^{2}_{-2} f(x) dx$: - Trên khoảng $(-2, \infty)$, hàm số $f(x) = -3x^2 - 4x - 2$. - Ta có: \[ \int^{2}_{-2} (-3x^2 - 4x - 2) dx = \left[ -x^3 - 2x^2 - 2x \right]^{2}_{-2} \] Thay cận vào: \[ \left( -(2)^3 - 2(2)^2 - 2(2) \right) - \left( -(-2)^3 - 2(-2)^2 - 2(-2) \right) \] \[ = \left( -8 - 8 - 4 \right) - \left( 8 - 8 + 4 \right) \] \[ = -20 - 4 \] \[ = -24 \] Cuối cùng, cộng hai kết quả lại: \[ \int^2_{-5} f(x) dx = \int^{-2}_{-5} f(x) dx + \int^{2}_{-2} f(x) dx = -4.5 + (-24) = -28.5 \] Vậy, $\int^2_{-5} f(x) dx = -28.5$. Kết quả làm tròn đến hàng phần mười là $-28.5$. Câu 4. Để tính tích phân $\int^{12}_7\frac{5}{x}~dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định hàm nguyên của $\frac{5}{x}$. Hàm nguyên của $\frac{5}{x}$ là $5\ln|x| + C$. Bước 2: Áp dụng công thức tích phân xác định: \[ \int^{12}_7\frac{5}{x}~dx = \left[5\ln|x|\right]^{12}_7 \] Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức: \[ = 5\ln(12) - 5\ln(7) \] Bước 4: Sử dụng tính chất của lôgarit để đơn giản hóa: \[ = 5(\ln(12) - \ln(7)) = 5\ln\left(\frac{12}{7}\right) \] So sánh với dạng $a\ln b$, ta nhận thấy $a = 5$ và $b = \frac{12}{7}$. Bước 5: Tính $5a - b$: \[ 5a - b = 5 \times 5 - \frac{12}{7} = 25 - \frac{12}{7} \] Chuyển 25 thành phân số có mẫu số là 7: \[ 25 = \frac{175}{7} \] Thực hiện phép trừ: \[ 25 - \frac{12}{7} = \frac{175}{7} - \frac{12}{7} = \frac{163}{7} \] Vậy, $5a - b = \frac{163}{7}$. Đáp số: $\frac{163}{7}$. Câu 5. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = -x^3 + 4x^2 + 9x - 1$ và $y = 2x^2 + 4x + 5$, chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm giao điểm của hai đồ thị Ta giải phương trình: \[ -x^3 + 4x^2 + 9x - 1 = 2x^2 + 4x + 5 \] Sắp xếp lại phương trình: \[ -x^3 + 2x^2 + 5x - 6 = 0 \] Phương trình này có nghiệm là $x = 1$ và $x = -3$. Do đó, hai đồ thị cắt nhau tại các điểm có hoành độ $x = 1$ và $x = -3$. Bước 2: Xác định khoảng tích phân Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị từ $x = -3$ đến $x = 1$. Bước 3: Tính diện tích Diện tích $A$ giữa hai đồ thị từ $x = -3$ đến $x = 1$ được tính bằng tích phân của hiệu hai hàm số: \[ A = \int_{-3}^{1} \left[ (-x^3 + 4x^2 + 9x - 1) - (2x^2 + 4x + 5) \right] dx \] \[ A = \int_{-3}^{1} \left( -x^3 + 2x^2 + 5x - 6 \right) dx \] Bước 4: Tính tích phân \[ A = \int_{-3}^{1} \left( -x^3 + 2x^2 + 5x - 6 \right) dx \] \[ A = \left[ -\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 6x \right]_{-3}^{1} \] Tính giá trị tại các cận: \[ \left. -\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 6x \right|_{-3}^{1} \] \[ = \left( -\frac{1^4}{4} + \frac{2 \cdot 1^3}{3} + \frac{5 \cdot 1^2}{2} - 6 \cdot 1 \right) - \left( -\frac{(-3)^4}{4} + \frac{2 \cdot (-3)^3}{3} + \frac{5 \cdot (-3)^2}{2} - 6 \cdot (-3) \right) \] \[ = \left( -\frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{5}{2} - 6 \right) - \left( -\frac{81}{4} - 18 + \frac{45}{2} + 18 \right) \] \[ = \left( -\frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{5}{2} - 6 \right) - \left( -\frac{81}{4} + \frac{45}{2} \right) \] \[ = \left( -\frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{5}{2} - 6 \right) - \left( -\frac{81}{4} + \frac{90}{4} \right) \] \[ = \left( -\frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{5}{2} - 6 \right) - \left( \frac{9}{4} \right) \] \[ = \left( -\frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{5}{2} - 6 \right) - \frac{9}{4} \] \[ = \left( -\frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{5}{2} - 6 \right) - \frac{9}{4} \] \[ = \left( -\frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{5}{2} - 6 \right) - \frac{9}{4} \] \[ = \left( -\frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{5}{2} - 6 \right) - \frac{9}{4} \] \[ = \left( -\frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{5}{2} - 6 \right) - \frac{9}{4} \] \[ = \left( -\frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{5}{2} - 6 \right) - \frac{9}{4} \] Kết luận: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = -x^3 + 4x^2 + 9x - 1$ và $y = 2x^2 + 4x + 5$ là $\boxed{32}$. Câu 6. Để tính thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \( y = 9x - 2 \) và đồ thị hàm số \( y = x^2 - 2x + 4 \) quanh trục Ox, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của hai đồ thị: Ta giải phương trình: \[ 9x - 2 = x^2 - 2x + 4 \] \[ x^2 - 11x + 6 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{11 \pm \sqrt{11^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 24}}{2} = \frac{11 \pm \sqrt{97}}{2} \] Vậy hai giao điểm là: \[ x_1 = \frac{11 - \sqrt{97}}{2}, \quad x_2 = \frac{11 + \sqrt{97}}{2} \] 2. Tính thể tích khối tròn xoay: Thể tích \( V \) của khối tròn xoay khi quay quanh trục Ox được tính bằng công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)^2 - g(x)^2] \, dx \] Trong đó, \( f(x) = 9x - 2 \) và \( g(x) = x^2 - 2x + 4 \). Giới hạn tích phân từ \( x_1 \) đến \( x_2 \). Ta có: \[ V = \pi \int_{\frac{11 - \sqrt{97}}{2}}^{\frac{11 + \sqrt{97}}{2}} [(9x - 2)^2 - (x^2 - 2x + 4)^2] \, dx \] 3. Tính tích phân: Ta cần tính: \[ \int_{\frac{11 - \sqrt{97}}{2}}^{\frac{11 + \sqrt{97}}{2}} [(9x - 2)^2 - (x^2 - 2x + 4)^2] \, dx \] Đầu tiên, ta mở rộng các bình phương: \[ (9x - 2)^2 = 81x^2 - 36x + 4 \] \[ (x^2 - 2x + 4)^2 = x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 16x + 16 \] Do đó: \[ (9x - 2)^2 - (x^2 - 2x + 4)^2 = 81x^2 - 36x + 4 - (x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 16x + 16) \] \[ = -x^4 + 4x^3 + 69x^2 - 20x - 12 \] Tích phân: \[ \int_{\frac{11 - \sqrt{97}}{2}}^{\frac{11 + \sqrt{97}}{2}} (-x^4 + 4x^3 + 69x^2 - 20x - 12) \, dx \] Ta tính từng phần: \[ \int (-x^4) \, dx = -\frac{x^5}{5} \] \[ \int 4x^3 \, dx = x^4 \] \[ \int 69x^2 \, dx = 23x^3 \] \[ \int -20x \, dx = -10x^2 \] \[ \int -12 \, dx = -12x \] Kết hợp lại: \[ \left[ -\frac{x^5}{5} + x^4 + 23x^3 - 10x^2 - 12x \right]_{\frac{11 - \sqrt{97}}{2}}^{\frac{11 + \sqrt{97}}{2}} \] Đánh giá tại các giới hạn: \[ V = \pi \left( \left[ -\frac{\left(\frac{11 + \sqrt{97}}{2}\right)^5}{5} + \left(\frac{11 + \sqrt{97}}{2}\right)^4 + 23\left(\frac{11 + \sqrt{97}}{2}\right)^3 - 10\left(\frac{11 + \sqrt{97}}{2}\right)^2 - 12\left(\frac{11 + \sqrt{97}}{2}\right) \right] - \left[ -\frac{\left(\frac{11 - \sqrt{97}}{2}\right)^5}{5} + \left(\frac{11 - \sqrt{97}}{2}\right)^4 + 23\left(\frac{11 - \sqrt{97}}{2}\right)^3 - 10\left(\frac{11 - \sqrt{97}}{2}\right)^2 - 12\left(\frac{11 - \sqrt{97}}{2}\right) \right] \right) \] Kết quả cuối cùng: \[ \frac{V}{11} \approx 10.0 \] Đáp số: \(\frac{V}{11} \approx 10.0\)