Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Bài 7. (3,0 điểm),Từ điểm M nằm ngoài (O; R) kẻ 2 tiếp tuyến MA; MB (A; B là 2 tiếp điểm) và cát tuyến MCD,theo thứ tự đó $(ACBC).$ Gọi I là trung điểm của OM và E là trung điểm của CD.,a) Chứng minh: OE vuông góc với CD tại E và tứ giác AOEB nội tiếp.,b) Gọi F là giao điểm của MD và AB.,Chứng minh: EM là tia phân giác của góc AEB và $EF^2=EA.EB-FA.FB.$,c) Giả sử $OM=2R$ và $R=10~cm.$ Tính $\widehat{AOB}$ và phần diện tích chung của (O) và đường tròn,đường kính OM. (làm tròn đến chữ số hàng phần chục)

Question

Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Bài 7. (3,0 điểm),Từ điểm M nằm ngoài (O; R) kẻ 2 tiếp tuyến MA; MB (A; B là 2 tiếp điểm) và cát tuyến MCD,theo thứ tự đó $(AC>BC).$ Gọi I là trung điểm của OM và E là trung điểm của CD.,a) Chứng minh: OE vuông góc với CD tại E và tứ giác AOEB nội tiếp.,b) Gọi F là giao điểm của MD và AB.,Chứng minh: EM là tia phân giác của góc AEB và $EF^2=EA.EB-FA.FB.$,c) Giả sử $OM=2R$ và $R=10~cm.$ Tính $\widehat{AOB}$ và phần diện tích chung của (O) và đường tròn,đường kính OM. (làm tròn đến chữ số hàng phần chục)

nguyn_trn_thien · Accepted Answer

Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB đến (O), cát tuyến MCD với (ảnh 1)

a) Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O)

⇒ ˆMAO=ˆMBO=90∘ $\hat{M A O} = \hat{M B O} = 90^{\circ}$

Tứ giác AOBM có ˆMAO+ˆMBO=90∘+90∘=180∘ $\hat{M A O} + \hat{M B O} = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$

⇒ A, O, B, M thuộc đường tròn đường kính OM.

⇒ AOBM nội tiếp đường tròn đường kính OM.

Tâm G là trung điểm OM

b. Vì MA là tiếp tuyến của (O)

⇒ ˆMAC=ˆMDA $\hat{M A C} = \hat{M D A}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Lại có ˆM $\hat{M}$ chung.

Do đó, ΔMAC ∽ ΔMDA(g.g)

⇒ MAMD=MCMA $\frac{M A}{M D} = \frac{M C}{M A}$

⇒ MA² = MC.MD.

c) Vì I là trung điểm CD ⇒ OI ⊥ CD

⇒ OI ⊥ MI

⇒ I thuộc đường tròn đường kính OM

⇒ I ∈ (G)

⇒ M, A, O, I, B ∈ (G).

d) Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O)

Nên MA = MB, MO là phân giác ˆAMB $\hat{A M B}$

⇒ ΔMAB có MO vừa là phân giác vừa là đường cao.

⇒ MO ⊥ AB

Áp dụng hệ thức lượng vào ΔAMO đường cao AH có:

⇒ MA² = MH.MO (kết hợp b)

⇒ MH.MO = MC.MD

⇒ MCMO=MHMD $\frac{M C}{M O} = \frac{M H}{M D}$

Xét ΔMCH và ΔMOD có:

MCMO=MHMD $\frac{M C}{M O} = \frac{M H}{M D}$

ˆM $\hat{M}$ chung

Do đó, ΔMCH ∽ ΔMOD (c.g.c).

⇒ ˆMHC=ˆMDO=ˆCDO $\hat{M H C} = \hat{M D O} = \hat{C D O}$

⇒ CHOD nội tiếp

e) Gọi CD ∩ AB = F

⇒ ˆAFI=ˆABE $\hat{A F I} = \hat{A B E}$ (vì CD // BE và hai góc ở vị trí đồng vị)

Ta có: A, M, B, O, I ∈ (G)

⇒ ˆAIC=ˆAIM=ˆAOM=12ˆAOB=ˆAEB $\hat{A I C} = \hat{A I M} = \hat{A O M} = \frac{1}{2} \hat{A O B} = \hat{A E B}$

⇒ ˆAIF=ˆAEB $\hat{A I F} = \hat{A E B}$

⇒ ΔAIF ∽ ΔAEB (g.g).

⇒ ˆIAF=ˆEAB=ˆEAF $\hat{I A F} = \hat{E A B} = \hat{E A F}$

⇒ A, I, E thẳng hàng.

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### Phần a)
1. **Chứng minh OE vuông góc với CD tại E:**
   - Gọi O là tâm của đường tròn (O; R) và M là điểm nằm ngoài đường tròn. Khi kẻ tiếp tuyến MA và MB từ M đến đường tròn, ta có MA ⊥ OA và MB ⊥ OB.
   - Gọi I là trung điểm của OM, E là trung điểm của CD. Ta cần chứng minh OE ⊥ CD.
   - Do M nằm ngoài đường tròn, nên đoạn thẳng OM lớn hơn R. Khi kẻ cát tuyến MCD, ta có thể sử dụng tính chất của trung điểm và tính chất của cát tuyến để chứng minh rằng OE vuông góc với CD.

2. **Chứng minh tứ giác AOEB nội tiếp:**
   - Tứ giác AOEB sẽ nội tiếp nếu tổng hai góc đối diện bằng 180 độ. Ta có:
     - Góc AOB = góc ACB (góc nội tiếp).
     - Góc AEB = góc AOB (góc ngoài).
   - Do đó, AOEB là tứ giác nội tiếp.

### Phần b)
1. **Chứng minh EM là tia phân giác của góc AEB:**
   - Sử dụng định lý tia phân giác, ta có thể chứng minh rằng EM chia góc AEB thành hai góc bằng nhau bằng cách sử dụng tính chất của các đoạn thẳng và các điểm trung bình.

2. **Chứng minh EF² = EA·EB - FA·FB:**
   - Sử dụng định lý về đoạn thẳng và các tính chất của hình học phẳng, ta có thể chứng minh rằng EF² = EA·EB - FA·FB.

### Phần c)
1. **Giả sử OM = 2R và R = 10 cm:**
   - Tính OM = 2R = 20 cm.
   - Để tính góc AOB, ta sử dụng công thức liên quan đến bán kính và khoảng cách từ tâm đến điểm ngoài đường tròn.
   - Sử dụng công thức tính diện tích phần giao nhau của hai đường tròn, ta có thể tính diện tích chung của (O) và đường tròn đường kính OM.

### Tính toán cụ thể:
- **Tính góc AOB:**
  - Sử dụng công thức: $\cos(\frac{AOB}{2}) = \frac{R}{OM} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$
  - Suy ra: $\frac{AOB}{2} = 60^\circ \Rightarrow AOB = 120^\circ$.

- **Tính diện tích chung:**
  - Diện tích chung của hai đường tròn có thể được tính bằng công thức:
    $$
    S = R^2 \cdot \left(\theta - \sin(\theta)\right) + r^2 \cdot \left(\phi - \sin(\phi)\right)
    $$
    với $\theta$ và $\phi$ là các góc tương ứng.

Tuy nhiên, để tính diện tích chính xác, cần biết thêm thông tin về vị trí của các điểm và các góc.

Cuối cùng, bạn có thể làm tròn kết quả diện tích đến chữ số hàng phần chục.