Giúppp với ạ $D.~\frac1{2\ln5}.5^{2x-1}+C.$,Câu 9: Tìm họ các nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=\frac{x+3}{x+1}.$,$A.~F(x)=x-\ln|x+1|+C.$,$B.~F(x)=x+\ln|x+1|+C.$,$C.~F(x)=x-3\ln|x+1|+C.$,$D.~F(x)=x+2\ln|x+1|+C.$,Câu 10: Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{x^2-x+1}{x-1}.$,$A.~x+\frac1{x-1}+C$ $\frac{x^2}2$,$B.~1+\frac1{(x-1)^2}+C.$,$C.~\frac{x^2}2+\ln|x-1|+C.$,$D.~x^2+\ln|x-1|+C.$

Question

Accepted Answer

Câu 9:
Để tìm họ các nguyên hàm $ F(x) $ của hàm số $ f(x) = \frac{x+3}{x+1} $, chúng ta thực hiện các bước sau:

1. Phân tích hàm số:
   Ta có:
   $$
   f(x) = \frac{x+3}{x+1}
   $$
   Ta phân tích phân thức này thành dạng tổng của một đa thức và một phân thức đơn giản hơn:
   $$
   f(x) = \frac{x+3}{x+1} = \frac{(x+1) + 2}{x+1} = 1 + \frac{2}{x+1}
   $$

2. Tìm nguyên hàm từng phần:
   - Nguyên hàm của $ 1 $ là $ x $:
     $$
     \int 1 \, dx = x + C_1
     $$
   - Nguyên hàm của $ \frac{2}{x+1} $ là $ 2 \ln |x+1| $:
     $$
     \int \frac{2}{x+1} \, dx = 2 \ln |x+1| + C_2
     $$

3. Gộp lại để tìm nguyên hàm tổng:
   Kết hợp hai nguyên hàm trên, ta có:
   $$
   F(x) = x + 2 \ln |x+1| + C
   $$
   Trong đó, $ C = C_1 + C_2 $ là hằng số tích phân.

Vậy, họ các nguyên hàm của hàm số $ f(x) = \frac{x+3}{x+1} $ là:
$$
F(x) = x + 2 \ln |x+1| + C
$$

Do đó, đáp án đúng là:
D. $ F(x) = x + 2 \ln |x+1| + C $.

Câu 10:
Để tìm họ nguyên hàm của hàm số $ f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} $, ta thực hiện các bước sau:

1. Rút gọn phân thức:
   Ta chia $ x^2 - x + 1 $ cho $ x - 1 $:
   $$
   \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} = x + \frac{1}{x - 1}
   $$
   Do đó, ta có:
   $$
   f(x) = x + \frac{1}{x - 1}
   $$

2. Tìm nguyên hàm từng phần:
   Ta tính nguyên hàm của mỗi phần riêng lẻ:
   $$
   \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_1
   $$
   $$
   \int \frac{1}{x - 1} \, dx = \ln |x - 1| + C_2
   $$

3. Gộp lại để tìm nguyên hàm tổng:
   Kết hợp hai nguyên hàm trên, ta có:
   $$
   \int f(x) \, dx = \int \left( x + \frac{1}{x - 1} \right) \, dx = \frac{x^2}{2} + \ln |x - 1| + C
   $$
   Trong đó, $ C = C_1 + C_2 $ là hằng số tích phân.

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $ f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} $ là:
$$
\boxed{\frac{x^2}{2} + \ln |x - 1| + C}
$$

Do đó, đáp án đúng là:
C. $\frac{x^2}{2} + \ln |x - 1| + C$.