Giai thich giup minh

Câu 11. Để tính điện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \( y = x \ln x \), trục hoành và đường thẳng \( x = e \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định giới hạn tích phân: - Giới hạn dưới là \( x = 1 \) (vì \( y = x \ln x \) không xác định ở \( x = 0 \)). - Giới hạn trên là \( x = e \). 2. Tính diện tích hình phẳng: Diện tích \( A \) của hình phẳng giới hạn bởi đường cong \( y = x \ln x \), trục hoành và đường thẳng \( x = e \) được tính bằng tích phân: \[ A = \int_{1}^{e} x \ln x \, dx \] 3. Áp dụng phương pháp tích phân từng phần: Ta đặt \( u = \ln x \) và \( dv = x \, dx \). Khi đó: \[ du = \frac{1}{x} \, dx \quad \text{và} \quad v = \frac{x^2}{2} \] Áp dụng công thức tích phân từng phần: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Ta có: \[ \int_{1}^{e} x \ln x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \ln x \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx \] \[ = \left[ \frac{x^2}{2} \ln x \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{2} \, dx \] \[ = \left[ \frac{x^2}{2} \ln x \right]_{1}^{e} - \left[ \frac{x^2}{4} \right]_{1}^{e} \] 4. Tính các giá trị tại các giới hạn: \[ \left[ \frac{x^2}{2} \ln x \right]_{1}^{e} = \frac{e^2}{2} \ln e - \frac{1^2}{2} \ln 1 = \frac{e^2}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{e^2}{2} \] \[ \left[ \frac{x^2}{4} \right]_{1}^{e} = \frac{e^2}{4} - \frac{1}{4} \] 5. Tính diện tích cuối cùng: \[ A = \frac{e^2}{2} - \left( \frac{e^2}{4} - \frac{1}{4} \right) \] \[ = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} \] \[ = \frac{2e^2}{4} - \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} \] \[ = \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} \] \[ = \frac{e^2 + 1}{4} \] Vậy diện tích hình phẳng là \( \frac{e^2 + 1}{4} \). Đáp án đúng là: C. \( \frac{e^2 + 1}{4} \). Câu 12. Để tính diện tích phần tô đậm của hình vẽ, ta cần xác định diện tích của các phần hình tròn và hình vuông liên quan. 1. Xác định diện tích hình vuông: - Giả sử cạnh của hình vuông là \( a \). Diện tích hình vuông là: \[ S_{vuông} = a^2 \] 2. Xác định diện tích hình tròn: - Hình tròn có bán kính \( r = \frac{a}{2} \). Diện tích hình tròn là: \[ S_{tròn} = \pi r^2 = \pi \left( \frac{a}{2} \right)^2 = \frac{\pi a^2}{4} \] 3. Xác định diện tích phần tô đậm: - Phần tô đậm bao gồm diện tích của hình vuông trừ đi diện tích của 4 phần hình tròn ở mỗi góc. - Diện tích 4 phần hình tròn là: \[ 4 \times \frac{\pi a^2}{4} = \pi a^2 \] - Diện tích phần tô đậm là: \[ S_{tô đậm} = S_{vuông} - S_{tròn} = a^2 - \frac{\pi a^2}{4} \] 4. Tính toán cụ thể: - Ta thấy rằng diện tích phần tô đậm là: \[ S_{tô đậm} = a^2 - \frac{\pi a^2}{4} = a^2 \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) \] 5. So sánh với các đáp án: - Ta nhận thấy rằng diện tích phần tô đậm là \( a^2 \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) \). Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{4 - \pi}{4}} \] Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, đáp án gần đúng nhất là: \[ \boxed{\frac{3}{4}} \] Câu 13. Để tính diện tích phần tô đậm của hình vẽ, chúng ta cần xác định diện tích của các hình trong đó và sau đó trừ đi diện tích của các phần không tô đậm. Hình vẽ bao gồm một hình vuông lớn và hai tam giác nhỏ. 1. Tính diện tích hình vuông lớn: - Giả sử cạnh của hình vuông lớn là \( a \). - Diện tích hình vuông lớn là \( a^2 \). 2. Tính diện tích hai tam giác nhỏ: - Mỗi tam giác nhỏ có đáy và chiều cao đều bằng \( \frac{a}{2} \). - Diện tích của mỗi tam giác nhỏ là: \[ \text{Diện tích tam giác nhỏ} = \frac{1}{2} \times \left(\frac{a}{2}\right) \times \left(\frac{a}{2}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{8} \] - Vì có hai tam giác nhỏ, tổng diện tích của hai tam giác nhỏ là: \[ 2 \times \frac{a^2}{8} = \frac{a^2}{4} \] 3. Tính diện tích phần tô đậm: - Diện tích phần tô đậm là diện tích hình vuông lớn trừ đi diện tích của hai tam giác nhỏ: \[ \text{Diện tích phần tô đậm} = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{4a^2}{4} - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4} \] Do đó, diện tích phần tô đậm của hình vẽ là \( \frac{3}{4} \). Đáp án đúng là: A. \( \frac{3}{4} \). Câu 14. Để tính diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của các đường thẳng và đường cong liên quan. 2. Tìm các điểm giao của các đường thẳng và đường cong. 3. Tính diện tích bằng cách sử dụng tích phân. Bước 1: Xác định phương trình của các đường thẳng và đường cong liên quan. - Đường thẳng \( y = x \). - Đường thẳng \( y = -x + 2 \). - Parabol \( y = x^2 \). Bước 2: Tìm các điểm giao của các đường thẳng và đường cong. - Điểm giao giữa \( y = x \) và \( y = x^2 \): \[ x = x^2 \] \[ x^2 - x = 0 \] \[ x(x - 1) = 0 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x = 1 \] Do đó, các điểm giao là \( (0, 0) \) và \( (1, 1) \). - Điểm giao giữa \( y = -x + 2 \) và \( y = x^2 \): \[ -x + 2 = x^2 \] \[ x^2 + x - 2 = 0 \] \[ (x + 2)(x - 1) = 0 \] \[ x = -2 \text{ hoặc } x = 1 \] Do đó, các điểm giao là \( (-2, 4) \) và \( (1, 1) \). Bước 3: Tính diện tích bằng cách sử dụng tích phân. Diện tích hình phẳng được gạch chéo là diện tích giữa các đường \( y = x \), \( y = -x + 2 \) và \( y = x^2 \) từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \). Diện tích \( A \) được tính bằng cách lấy tích phân của hiệu các hàm số: \[ A = \int_{0}^{1} [(-x + 2) - x^2] \, dx - \int_{0}^{1} [x - x^2] \, dx \] Tính từng tích phân: \[ \int_{0}^{1} (-x + 2 - x^2) \, dx = \left[ -\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \left( -\frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{3} \right) - 0 = \frac{7}{6} \] \[ \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - 0 = \frac{1}{6} \] Diện tích \( A \) là: \[ A = \frac{7}{6} - \frac{1}{6} = 1 \] Vậy diện tích hình phẳng được gạch chéo là \( 1 \).