Bài 7: (3,0 điểm) Từ điểm M nằm ngoài (O; R) kẻ 2 tiếp tuyến MA; MB (A; B là 2 tiếp điểm) và cát tuyến MCD theo thứ tự đó (AC > BC). Gọi I là trung điểm của OM và E là trung điểm của CD. a) Chứng minh:...

Bài 7: a) Chứng minh: OE vuông góc với CD tại E và tứ giác AOEB nội tiếp. - Vì MA và MB là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) nên OA vuông góc với MA và OB vuông góc với MB. - Xét tam giác OMA và OMB: + OA = OB (bán kính của đường tròn) + OM chung + $\angle OAM = \angle OBM = 90^\circ$ Vậy tam giác OMA và OMB bằng nhau (cạnh huyền - cạnh góc vuông). - Do đó, MA = MB và $\angle OMA = \angle OMB$. - Vì I là trung điểm của OM nên IA = IB. - Xét tam giác IAM và IBM: + IA = IB (chứng minh trên) + AM = BM (chứng minh trên) + OM chung Vậy tam giác IAM và IBM bằng nhau (cạnh - cạnh - cạnh). - Do đó, $\angle IAM = \angle IBM$. - Vì $\angle IAM = \angle IBM$ và $\angle OAM = \angle OBM = 90^\circ$, nên $\angle OAE = \angle OBE$. - Vậy tứ giác AOEB nội tiếp (góc nội tiếp cùng chắn cung AB). - Vì CD là dây cung của đường tròn (O; R) và E là trung điểm của CD nên OE vuông góc với CD tại E (tính chất đường kính vuông góc với dây cung). b) Chứng minh: EM là tia phân giác của góc AEB và EF^2 = EA.EB = FA.FB. - Vì tứ giác AOEB nội tiếp nên $\angle OAE = \angle OBE$. - Xét tam giác OAE và OBE: + OA = OB (bán kính của đường tròn) + OE chung + $\angle OAE = \angle OBE$ (chứng minh trên) Vậy tam giác OAE và OBE bằng nhau (cạnh - góc - cạnh). - Do đó, EA = EB và $\angle OEA = \angle OEB$. - Vì EA = EB và $\angle OEA = \angle OEB$, nên EM là tia phân giác của góc AEB. - Xét tam giác EAF và EBF: + EA = EB (chứng minh trên) + EF chung + $\angle AEF = \angle BEF$ (EM là tia phân giác của góc AEB) Vậy tam giác EAF và EBF bằng nhau (cạnh - góc - cạnh). - Do đó, AF = BF và EF^2 = EA.EB = FA.FB (tính chất tam giác bằng nhau). c) Giả sử OM = 2R và R = 10 cm. Tính $\angle AOB$ và phần diện tích chung của (O) và đường tròn đường kính OM. (làm tròn đến chữ số hàng phần chục) - Vì OM = 2R nên OM = 20 cm. - Xét tam giác OMA: + OA = R = 10 cm + OM = 20 cm + $\angle OAM = 90^\circ$ Vậy tam giác OMA là tam giác vuông cân tại A. - Do đó, $\angle AOM = 45^\circ$. - Vì $\angle AOM = 45^\circ$ và $\angle AOB = 2 \times \angle AOM$ (tính chất góc nội tiếp và góc tâm), nên $\angle AOB = 90^\circ$. - Diện tích của đường tròn (O; R) là $\pi R^2 = \pi \times 10^2 = 100\pi$ cm². - Diện tích của đường tròn đường kính OM là $\pi \left(\frac{OM}{2}\right)^2 = \pi \times 10^2 = 100\pi$ cm². - Phần diện tích chung của (O) và đường tròn đường kính OM là $\frac{1}{2} \times 100\pi = 50\pi$ cm² (vì hai đường tròn cắt nhau và chia đôi diện tích của mỗi đường tròn). - Làm tròn đến chữ số hàng phần chục, ta có diện tích chung là 157,1 cm². Đáp số: $\angle AOB = 90^\circ$, diện tích chung là 157,1 cm².