Cho hình chóp $S \cdot A B C D$, đáy $A B C D$ là hình vuông, cạnh $2 a$, tâm $O$, mặt bên $(S A B)$ là tam giác đều và $(S A B) \perp(A B C D)$. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình ch...

Trước tiên, ta xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S \cdot ABCD$. 1. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp đáy $ABCD$: - Đáy $ABCD$ là hình vuông với cạnh $2a$ và tâm $O$. - Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp đáy $ABCD$ là khoảng cách từ tâm $O$ đến một đỉnh của hình vuông, tức là: \[ R_{ABCD} = \frac{AC}{2} = \frac{2a\sqrt{2}}{2} = a\sqrt{2} \] 2. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tam giác đều $SAB$: - Tam giác đều $SAB$ có cạnh $2a$. - Tâm của mặt cầu ngoại tiếp tam giác đều $SAB$ nằm trên đường cao hạ từ đỉnh $S$ xuống cạnh $AB$. - Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tam giác đều $SAB$ là khoảng cách từ tâm đến một đỉnh của tam giác đều, tức là: \[ R_{SAB} = \frac{2a}{\sqrt{3}} \] 3. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S \cdot ABCD$: - Mặt phẳng $(SAB)$ vuông góc với đáy $(ABCD)$, do đó tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp sẽ nằm trên đường thẳng vuông góc với cả hai mặt phẳng này. - Ta gọi tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là $I$. Tâm $I$ sẽ nằm trên đường thẳng đi qua tâm $O$ của đáy $ABCD$ và vuông góc với đáy $ABCD$. - Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là khoảng cách từ tâm $I$ đến bất kỳ đỉnh nào của hình chóp. 4. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: - Gọi $h$ là chiều cao của tam giác đều $SAB$ hạ từ đỉnh $S$ xuống cạnh $AB$. Ta có: \[ h = \frac{2a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3} \] - Tâm $I$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp nằm trên đường thẳng đi qua tâm $O$ của đáy $ABCD$ và vuông góc với đáy $ABCD$. Khoảng cách từ tâm $I$ đến tâm $O$ là $\frac{h}{3} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. - Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: \[ R = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{\frac{a^2 \cdot 3}{9} + 2a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{3} + 2a^2} = \sqrt{\frac{a^2 + 6a^2}{3}} = \sqrt{\frac{7a^2}{3}} = a\sqrt{\frac{7}{3}} \] Vậy tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là điểm $I$ nằm trên đường thẳng đi qua tâm $O$ của đáy $ABCD$ và vuông góc với đáy $ABCD$, và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là $a\sqrt{\frac{7}{3}}$.