Trả lời câu hỏi

Câu 2. a) Ta có $(P):~x-2y+3z+1=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n_{1}}=(1;-2;3)$ $(Q):~2x-4y+6z+1=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n_{2}}=(2;-4;6)$ Ta thấy $\vec{n_{2}}=2\vec{n_{1}}$ nên hai vectơ pháp tuyến cùng phương. b) Thay tọa độ điểm M vào phương trình của hai mặt phẳng ta có: $1-2+3\times 2+1=6\neq 0$ nên M không thuộc (P) $2\times 1-4\times 1+6\times 2+1=11\neq 0$ nên M không thuộc (Q) c) Vì hai vectơ pháp tuyến cùng phương nên hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau. Lấy điểm A thuộc (P) có tọa độ (0;0,-$\frac{1}{3}$) Khoảng cách từ A đến (Q) là $d=\frac{|2\times 0-4\times 0+6\times (-\frac{1}{3})+1|}{\sqrt{2^{2}+(-4)^{2}+6^{2}}}=\frac{\sqrt{14}}{14}$ Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng là $\frac{\sqrt{14}}{14}$ d) Vì hai mặt phẳng song song nên góc giữa chúng bằng 0 độ. Câu 1: Để tính giá trị của tham số \( m \) trong tích phân \(\int^m_0(3x^2 - 2x + 1) \, dx = 6\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính tích phân \(\int^m_0(3x^2 - 2x + 1) \, dx\). \[ \int^m_0(3x^2 - 2x + 1) \, dx = \left[ x^3 - x^2 + x \right]^m_0 \] Bước 2: Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức đã tính. \[ \left[ x^3 - x^2 + x \right]^m_0 = (m^3 - m^2 + m) - (0^3 - 0^2 + 0) = m^3 - m^2 + m \] Bước 3: Đặt biểu thức này bằng 6 và giải phương trình. \[ m^3 - m^2 + m = 6 \] Bước 4: Giải phương trình \(m^3 - m^2 + m - 6 = 0\). Ta thử các giá trị nguyên gần gũi để tìm nghiệm của phương trình. Ta thử \(m = 2\): \[ 2^3 - 2^2 + 2 - 6 = 8 - 4 + 2 - 6 = 0 \] Vậy \(m = 2\) là nghiệm của phương trình. Do đó, giá trị của tham số \(m\) là \(2\). Đáp số: \(m = 2\). Câu 2: Để tính thể tích của vật thể tròn xoay được sinh ra từ việc quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \tan x$, $y = 0$, $x = 0$, và $x = \frac{\pi}{4}$ xung quanh trục Ox, ta sẽ sử dụng phương pháp thể tích của vật thể tròn xoay. Bước 1: Xác định khoảng tích phân Hình phẳng giới hạn bởi các đường trên nằm trong khoảng từ $x = 0$ đến $x = \frac{\pi}{4}$. Bước 2: Viết biểu thức cho thể tích Thể tích của vật thể tròn xoay được sinh ra khi quay một hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f(x)$, $y = 0$, $x = a$, và $x = b$ xung quanh trục Ox là: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong trường hợp này, $f(x) = \tan x$, $a = 0$, và $b = \frac{\pi}{4}$. Do đó, thể tích $V$ là: \[ V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\tan x)^2 \, dx \] Bước 3: Tính tích phân Ta cần tính tích phân $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\tan x)^2 \, dx$. Ta biết rằng $(\tan x)^2 = \sec^2 x - 1$. Vì vậy: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\tan x)^2 \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sec^2 x - 1) \, dx \] \[ = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^2 x \, dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 1 \, dx \] Tích phân $\int \sec^2 x \, dx = \tan x$ và $\int 1 \, dx = x$. Do đó: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^2 x \, dx = \left[ \tan x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) - \tan (0) = 1 - 0 = 1 \] \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 1 \, dx = \left[ x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4} \] Vậy: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\tan x)^2 \, dx = 1 - \frac{\pi}{4} \] Bước 4: Tính thể tích \[ V = \pi \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) = \pi - \frac{\pi^2}{4} \] Vậy thể tích của vật thể tròn xoay là: \[ V = \pi - \frac{\pi^2}{4} \] Đáp số: $V = \pi - \frac{\pi^2}{4}$ Câu 3: Để tính khoảng cách từ điểm \( A(50;0;0) \) đến mặt phẳng \( (OBD) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm phương trình mặt phẳng \( (OBD) \): - Điểm \( O(0;0;0) \) - Điểm \( B(4k;3k;2k) \) - Điểm \( D(0;20;0) \) Mặt phẳng \( (OBD) \) đi qua gốc tọa độ \( O \), do đó phương trình mặt phằng có dạng \( ax + by + cz = 0 \). Ta thay tọa độ của điểm \( B \) và \( D \) vào phương trình này để tìm các hệ số \( a, b, c \): - Thay \( B(4k;3k;2k) \): \( 4ka + 3kb + 2kc = 0 \) - Thay \( D(0;20;0) \): \( 20b = 0 \Rightarrow b = 0 \) Do đó phương trình mặt phẳng \( (OBD) \) trở thành \( ax + cz = 0 \). Thay \( B(4k;3k;2k) \) vào phương trình này: \[ 4ka + 2kc = 0 \Rightarrow 2k(a + c) = 0 \Rightarrow a + c = 0 \Rightarrow c = -a \] Vậy phương trình mặt phẳng \( (OBD) \) là \( ax - az = 0 \) hoặc \( x - z = 0 \). 2. Tính khoảng cách từ điểm \( A(50;0;0) \) đến mặt phẳng \( x - z = 0 \): - Phương trình mặt phẳng \( x - z = 0 \) có dạng \( Ax + By + Cz + D = 0 \) với \( A = 1, B = 0, C = -1, D = 0 \). Công thức khoảng cách từ một điểm \( (x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( Ax + By + Cz + D = 0 \) là: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Thay \( A(50;0;0) \) vào công thức: \[ d = \frac{|1 \cdot 50 + 0 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 + 0|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}} = \frac{|50|}{\sqrt{1 + 0 + 1}} = \frac{50}{\sqrt{2}} = 25\sqrt{2} \] Làm tròn đến hàng phần chục: \[ 25\sqrt{2} \approx 25 \times 1.414 = 35.35 \approx 35.4 \] Vậy khoảng cách từ điểm \( A \) đến mặt phẳng \( (OBD) \) là \( 35.4 \) mét.