Trắc nghiệm đúng sai

Câu 1. a) Ta có: \[ I = \int^b_a 6x^5 dx = \int^b_a (6x^5 + x) dx - \int^b_a x dx = 8 - 3 = 5. \] Vậy $I = 5.$ b) Ta có: \[ J = \int^b_0 x^5 dx. \] Do đó: \[ J = \frac{1}{6} x^6 \Bigg|^b_0 = \frac{1}{6} b^6. \] Mặt khác, ta biết rằng: \[ I = \int^b_a 6x^5 dx = 6 \int^b_a x^5 dx = 6 \left( \frac{1}{6} x^6 \Bigg|^b_a \right) = b^6 - a^6. \] Vì $I = 5$, nên: \[ b^6 - a^6 = 5. \] Do đó: \[ J = \frac{1}{6} b^6 = \frac{1}{6} (b^6) = \frac{1}{6} (5 + a^6) = \frac{5}{6} + \frac{a^6}{6}. \] Nhưng vì $J = 5I$, nên: \[ J = 5 \times 5 = 25. \] c) Ta có: \[ \int^1_{-1} |6x^5| dx = \int^{-1}_0 (-6x^5) dx + \int^1_0 6x^5 dx. \] Tính từng phần: \[ \int^{-1}_0 (-6x^5) dx = -6 \int^{-1}_0 x^5 dx = -6 \left( \frac{1}{6} x^6 \Bigg|^{-1}_0 \right) = -6 \left( \frac{1}{6} (-1)^6 - 0 \right) = -6 \left( \frac{1}{6} \right) = -1. \] \[ \int^1_0 6x^5 dx = 6 \int^1_0 x^5 dx = 6 \left( \frac{1}{6} x^6 \Bigg|^1_0 \right) = 6 \left( \frac{1}{6} (1)^6 - 0 \right) = 6 \left( \frac{1}{6} \right) = 1. \] Vậy: \[ \int^1_{-1} |6x^5| dx = -1 + 1 = 0. \] d) Ta có: \[ I = \int^b_a 6x^5 dx = 6 \int^b_a x^5 dx = 6 \left( \frac{1}{6} x^6 \Bigg|^b_a \right) = b^6 - a^6. \] Vì $I = 728$, nên: \[ b^6 - a^6 = 728. \] Ta cũng biết rằng: \[ a^3 + b^3 = 28. \] Ta cần tìm $a^3 - b^3$. Ta có: \[ (a^3 + b^3)(a^3 - b^3) = a^6 - b^6. \] Vì $a^6 - b^6 = -(b^6 - a^6) = -728$, nên: \[ 28(a^3 - b^3) = -728. \] Do đó: \[ a^3 - b^3 = \frac{-728}{28} = -26. \] Đáp số: a) $I = 5.$ b) $J = 25.$ c) $\int^1_{-1} |6x^5| dx = 0.$ d) $a^3 - b^3 = -26.$ Câu 2. Để giải quyết các khẳng định trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định dựa trên thông tin đã cho. Khẳng định a) \( F(x) = x^4 - 3x^2 + 2 \) Ta kiểm tra xem \( F(x) = x^4 - 3x^2 + 2 \) có phải là một nguyên hàm của \( f(x) = 4x^3 - 6x \) hay không. Tính đạo hàm của \( F(x) \): \[ F'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 3x^2 + 2) = 4x^3 - 6x \] Như vậy, \( F'(x) = f(x) \), do đó \( F(x) = x^4 - 3x^2 + 2 \) là một nguyên hàm của \( f(x) \). Tiếp theo, ta kiểm tra điều kiện \( F(0) = 2 \): \[ F(0) = 0^4 - 3 \cdot 0^2 + 2 = 2 \] Do đó, khẳng định a) là đúng. Khẳng định b) \( F(x) = f'(x) \) Ta tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 6x) = 12x^2 - 6 \] Như vậy, \( F(x) = f'(x) \) không phải là một nguyên hàm của \( f(x) \). Do đó, khẳng định b) là sai. Khẳng định c) \( F'(x) = f(x) \) Theo định nghĩa của nguyên hàm, nếu \( F(x) \) là một nguyên hàm của \( f(x) \), thì \( F'(x) = f(x) \). Như đã kiểm tra ở khẳng định a), \( F(x) = x^4 - 3x^2 + 2 \) là một nguyên hàm của \( f(x) \), do đó \( F'(x) = f(x) \). Do đó, khẳng định c) là đúng. Khẳng định d) \( F(1) = 3 \) Ta tính \( F(1) \) với \( F(x) = x^4 - 3x^2 + 2 \): \[ F(1) = 1^4 - 3 \cdot 1^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \] Như vậy, \( F(1) = 0 \), không phải là 3. Do đó, khẳng định d) là sai. Kết luận: - Khẳng định a) là đúng. - Khẳng định b) là sai. - Khẳng định c) là đúng. - Khẳng định d) là sai. Câu 3. a) Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M(2;3;-1)$ và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại 3 điểm A, B, C sao cho điểm M là trực tâm tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ có dạng: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$. Do M là trực tâm tam giác ABC nên MA vuông góc với BC, MB vuông góc với AC. $\overrightarrow{MA} = (-2; -3; 1)$, $\overrightarrow{MB} = (-2; b-3; 1)$, $\overrightarrow{MC} = (-2; -3; c+1)$. Ta có: $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$ và $\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$. Từ đó suy ra: $(-2)(-2) + (-3)(-3) + (1)(c+1) = 0$ và $(-2)(-2) + (b-3)(-3) + (1)(c+1) = 0$. Giải hệ phương trình này ta tìm được $a = 7$, $b = \frac{7}{3}$, $c = -14$. Vậy phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ là: $\frac{x}{7} + \frac{y}{\frac{7}{3}} + \frac{z}{-14} = 1$ hay $2x + 3y + z - 14 = 0$. b) Mặt phẳng (R) đi qua $M(2;3;-1)$, song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng (P). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n} = (1; 2; -3)$. Mặt phẳng (R) song song với trục Oy nên vectơ pháp tuyến của nó có dạng $\overrightarrow{n_R} = (a; 0; b)$. Do mặt phẳng (R) vuông góc với mặt phẳng (P) nên $\overrightarrow{n_R} \cdot \overrightarrow{n} = 0$. Từ đó suy ra: $a \cdot 1 + 0 \cdot 2 + b \cdot (-3) = 0$ hay $a - 3b = 0$. Chọn $a = 3$, $b = 1$ thì $\overrightarrow{n_R} = (3; 0; 1)$. Phương trình mặt phẳng (R) là: $3(x - 2) + 1(z + 1) = 0$ hay $3x + z - 5 = 0$. c) Mặt phẳng (Q) qua điểm $M(2;3;-1)$ và song song với mặt phẳng (P). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n} = (1; 2; -3)$. Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) nên vectơ pháp tuyến của nó cũng là $\overrightarrow{n} = (1; 2; -3)$. Phương trình mặt phẳng (Q) là: $1(x - 2) + 2(y - 3) - 3(z + 1) = 0$ hay $x + 2y - 3z + 11 = 0$. d) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P):~x+2y-3z+1=0$ là $\overrightarrow{n} = (1; 2; -3)$.