:)))))))))))))))

Câu 1. Để tính độ dài đoạn thẳng AB trong không gian Oxyz, ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm \( A(x_1, y_1, z_1) \) và \( B(x_2, y_2, z_2) \): \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Áp dụng vào các tọa độ của điểm \( A(2, 7, -1) \) và \( B(4, 6, 1) \): 1. Tính hiệu các tọa độ: \[ x_2 - x_1 = 4 - 2 = 2 \] \[ y_2 - y_1 = 6 - 7 = -1 \] \[ z_2 - z_1 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 \] 2. Tính bình phương các hiệu này: \[ (x_2 - x_1)^2 = 2^2 = 4 \] \[ (y_2 - y_1)^2 = (-1)^2 = 1 \] \[ (z_2 - z_1)^2 = 2^2 = 4 \] 3. Cộng các bình phương lại: \[ (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2 = 4 + 1 + 4 = 9 \] 4. Tính căn bậc hai của tổng này để tìm độ dài đoạn thẳng AB: \[ AB = \sqrt{9} = 3 \] Vậy độ dài đoạn thẳng AB là 3. Câu 2. Để tính khoảng cách từ điểm \( M(1;2;3) \) đến mặt phẳng \( (P): 2x - y + 2z - 13 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Công thức khoảng cách \( d \) từ điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Trong đó: - \( (x_0, y_0, z_0) = (1, 2, 3) \) - \( a = 2 \), \( b = -1 \), \( c = 2 \), \( d = -13 \) Thay các giá trị vào công thức: \[ d = \frac{|2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 2 \cdot 3 - 13|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} \] \[ d = \frac{|2 - 2 + 6 - 13|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} \] \[ d = \frac{|-7|}{\sqrt{9}} \] \[ d = \frac{7}{3} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( M(1;2;3) \) đến mặt phẳng \( (P): 2x - y + 2z - 13 = 0 \) là \( \frac{7}{3} \). Đáp số: \( \frac{7}{3} \). Câu 3. Để tìm góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ và $d$, ta cần xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng. Đường thẳng $\Delta$ có phương trình: \[ \frac{x-2}{\sqrt{2}} = \frac{y}{\sqrt{2}} = \frac{z+1}{2} \] Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{u} = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, 2)$. Đường thẳng $d$ có phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + \sqrt{2}t \\ y = 3 + \sqrt{2}t \\ z = 2t \end{array} \right. \] Vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{v} = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, 2)$. Góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ và $d$ là góc giữa hai vectơ chỉ phương $\vec{u}$ và $\vec{v}$. Ta tính cosin của góc này bằng công thức: \[ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \] Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = (\sqrt{2})(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})(\sqrt{2}) + (2)(2) = 2 + 2 + 4 = 8 \] Tính độ dài của $\vec{u}$ và $\vec{v}$: \[ |\vec{u}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{2 + 2 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] \[ |\vec{v}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{2 + 2 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] Thay vào công thức cosin: \[ \cos \theta = \frac{8}{(2\sqrt{2})(2\sqrt{2})} = \frac{8}{8} = 1 \] Vậy $\cos \theta = 1$, suy ra $\theta = 0^\circ$. Đáp số: Góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ và $d$ là $0^\circ$. Câu 4. Để kiểm tra xem các điểm A, B, C, D có thuộc đường thẳng $\Delta$ hay không, ta thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ và kiểm tra xem có tồn tại giá trị của tham số $t$ thỏa mãn hay không. 1. Kiểm tra điểm $A(1;2;3)$: - Thay vào phương trình $x = 1 + 2t$: $1 = 1 + 2t \Rightarrow t = 0$ - Thay vào phương trình $y = -2 - 2t$: $2 = -2 - 2t \Rightarrow t = -2$ - Thay vào phương trình $z = 3 - t$: $3 = 3 - t \Rightarrow t = 0$ Ta thấy rằng $t = 0$ không thỏa mãn cả ba phương trình, do đó điểm $A$ không thuộc đường thẳng $\Delta$. 2. Kiểm tra điểm $B(3;4;3)$: - Thay vào phương trình $x = 1 + 2t$: $3 = 1 + 2t \Rightarrow t = 1$ - Thay vào phương trình $y = -2 - 2t$: $4 = -2 - 2t \Rightarrow t = -3$ - Thay vào phương trình $z = 3 - t$: $3 = 3 - t \Rightarrow t = 0$ Ta thấy rằng $t = 1$, $t = -3$, và $t = 0$ không thỏa mãn cùng một giá trị, do đó điểm $B$ không thuộc đường thẳng $\Delta$. 3. Kiểm tra điểm $C(5;-6;-1)$: - Thay vào phương trình $x = 1 + 2t$: $5 = 1 + 2t \Rightarrow t = 2$ - Thay vào phương trình $y = -2 - 2t$: $-6 = -2 - 2t \Rightarrow t = 2$ - Thay vào phương trình $z = 3 - t$: $-1 = 3 - t \Rightarrow t = 4$ Ta thấy rằng $t = 2$ và $t = 4$ không thỏa mãn cùng một giá trị, do đó điểm $C$ không thuộc đường thẳng $\Delta$. 4. Kiểm tra điểm $D(-3;2;2)$: - Thay vào phương trình $x = 1 + 2t$: $-3 = 1 + 2t \Rightarrow t = -2$ - Thay vào phương trình $y = -2 - 2t$: $2 = -2 - 2t \Rightarrow t = -2$ - Thay vào phương trình $z = 3 - t$: $2 = 3 - t \Rightarrow t = 1$ Ta thấy rằng $t = -2$ và $t = 1$ không thỏa mãn cùng một giá trị, do đó điểm $D$ không thuộc đường thẳng $\Delta$. Kết luận: Các điểm A, B, C, D đều không thuộc đường thẳng $\Delta$. Câu 5. Đầu tiên, ta xác định phương trình của đường thẳng AB, đại diện cho quỹ đạo hạ cánh của máy bay. Phương trình tham số của đường thẳng AB: \begin{align} x &= 3 + t(3 - 3) = 3 \\ y &= -3 + t(10 + 3) = -3 + 13t \\ z &= 1 + t(0 - 1) = 1 - t \end{align} Mặt dưới của lớp mây có phương trình z = 0,4. Ta tìm t để máy bay vào trong lớp mây: \[ 1 - t = 0,4 \] \[ t = 0,6 \] Mặt trên của lớp mây có phương trình z = 0,8. Ta tìm t để máy bay ra khỏi lớp mây: \[ 1 - t = 0,8 \] \[ t = 0,2 \] Thời gian máy bay ở trong mây là khoảng thời gian từ t = 0,2 đến t = 0,6. Tính khoảng thời gian này: \[ \Delta t = 0,6 - 0,2 = 0,4 \text{ (giờ)} \] Chuyển đổi khoảng thời gian này sang giây: \[ \Delta t = 0,4 \times 3600 = 1440 \text{ (giây)} \] Vậy thời gian máy bay ở trong mây là 1440 giây. Câu 6. Để tính thể tích của khúc gỗ đã xẻ bỏ đi một phần, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích toàn bộ đáy của hình trụ ban đầu. 2. Tính diện tích phần đã bị xẻ bỏ. 3. Tính diện tích còn lại của đáy. 4. Tính thể tích của khúc gỗ còn lại. Bước 1: Tính diện tích toàn bộ đáy của hình trụ ban đầu Diện tích toàn bộ đáy của hình trụ ban đầu là: \[ S_{\text{đáy}} = \pi \left( \frac{d}{2} \right)^2 = \pi \left( \frac{80}{2} \right)^2 = \pi \times 40^2 = 1600\pi \, \text{cm}^2 \] Bước 2: Tính diện tích phần đã bị xẻ bỏ Phần đã bị xẻ bỏ là một hình tam giác với đáy là đường kính của hình trụ và chiều cao là chiều cao của phần đã bị xẻ bỏ. Diện tích phần đã bị xẻ bỏ là: \[ S_{\text{xẻ bỏ}} = \frac{1}{2} \times d \times MH = \frac{1}{2} \times 80 \times 60 = 2400 \, \text{cm}^2 \] Bước 3: Tính diện tích còn lại của đáy Diện tích còn lại của đáy là: \[ S_{\text{còn lại}} = S_{\text{đáy}} - S_{\text{xẻ bỏ}} = 1600\pi - 2400 \, \text{cm}^2 \] Bước 4: Tính thể tích của khúc gỗ còn lại Thể tích của khúc gỗ còn lại là: \[ V = S_{\text{còn lại}} \times AB = (1600\pi - 2400) \times 300 \, \text{cm}^3 \] Chuyển đổi đơn vị từ cm³ sang m³: \[ V = (1600\pi - 2400) \times 300 \times 10^{-6} \, \text{m}^3 \] \[ V = (1600\pi - 2400) \times 0.0003 \, \text{m}^3 \] \[ V = (1600 \times 3.1416 - 2400) \times 0.0003 \, \text{m}^3 \] \[ V = (5026.56 - 2400) \times 0.0003 \, \text{m}^3 \] \[ V = 2626.56 \times 0.0003 \, \text{m}^3 \] \[ V \approx 0.788 \, \text{m}^3 \] Vậy thể tích của khúc gỗ còn lại là khoảng 0.79 m³ (làm tròn đến hàng phần mười).