cho tam giác abc có ab = ac, bd và ce là hai đường trung tuyến cắt nhau tại g.
a) chứng minh tam giác bec = tam giác cdb
b) chứng minh tam giác bgc cân
c) chứng minh bc

Question

cho tam giác abc có ab = ac, bd và ce là hai đường trung tuyến cắt nhau tại g.
a) chứng minh tam giác bec = tam giác cdb 
b) chứng minh tam giác bgc cân 
c) chứng minh bc < 2bg

loot999uwu · Accepted Answer

a, Vì $\displaystyle \vartriangle ABC$ cân tại A nên $\displaystyle \begin{cases}
AB=AC & \
\widehat{ABC} =\widehat{ACB} &
\end{cases}$
Vì E là trung điểm của AB nên $\displaystyle AE=BE=\frac{AB}{2}$
Vì D là trung điểm của AC nên $\displaystyle AD=DC=\frac{AC}{2}$
Do đó BE=DC
Xét $\displaystyle \vartriangle EBC$ và $\displaystyle \vartriangle DCB$ có:
BE=CD
$\displaystyle \widehat{EBC} =\widehat{DCB}$
BC: cạnh chung
Do đó $\displaystyle \vartriangle EBC=\vartriangle DCB$ (c.g.c)
b, Ta có: $\displaystyle \vartriangle EBC=\vartriangle DCB$
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{ECB} =\widehat{DBC}$ (2 góc tương ứng)
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{GBC} =\widehat{GCB}$
$\displaystyle \Longrightarrow \vartriangle GBC$ cân tại G
c, Gọi M là trung điểm của BC
Vì $\displaystyle \vartriangle GBC$ cân tại G nên GB=GC
Xét $\displaystyle \vartriangle GBM$ và $\displaystyle \vartriangle GCM$ có:
GB=GC
GM: cạnh chung
MB=MC
Do đó $\displaystyle \vartriangle GBM=\vartriangle GCM$ (c.c.c)
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{BMG} =\widehat{CMG}$ (2 góc tương ứng)
Mà $\displaystyle \widehat{BMG} +\widehat{CMG} =180^{0}$ (kề bù)
Do đó $\displaystyle \widehat{BMG} =\widehat{CMG} =90^{0}$
$\displaystyle \vartriangle BMG$ vuông tại M có: $\displaystyle GB >BM$ (cạnh huyền là cạnh lớn nhất)
$\displaystyle \Longrightarrow BG >\frac{BC}{2} \Longrightarrow BC< 2BG$

Timi · Answer

a) Chứng minh tam giác BEC = tam giác CDB: - Ta có AB = AC (tam giác ABC cân tại A) - BD và CE là các đường trung tuyến, nên D và E lần lượt là trung điểm của AC và AB. - Do đó, AD = DC và AE = EB. - Xét tam giác BEC và tam giác CDB: + BE = CD (vì E và D là trung điểm của AB và AC) + EC = DB (vì CE và BD là các đường trung tuyến) + BC chung - Vậy tam giác BEC = tam giác CDB (cạnh - cạnh - cạnh) b) Chứng minh tam giác BGC cân: - Từ phần a), ta đã chứng minh tam giác BEC = tam giác CDB. - Do đó, góc BEC = góc CDB. - Vì G là giao điểm của các đường trung tuyến BD và CE, nên G cũng là trọng tâm của tam giác ABC. - Trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ lệ 2:1, tức là BG = 2GD và CG = 2GE. - Do đó, BG = CG (vì G là trọng tâm và chia đều các đường trung tuyến). - Vậy tam giác BGC cân tại G. c) Chứng minh BC < 2BG: - Ta đã biết G là trọng tâm của tam giác ABC, chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ lệ 2:1. - Điều này có nghĩa là BG = $\frac{2}{3}$BD. - Vì BD là đường trung tuyến, nên BD > $\frac{1}{2}$BC (theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác). - Do đó, BG = $\frac{2}{3}$BD > $\frac{2}{3} imes \frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{3}$BC. - Nhân cả hai vế với 3, ta có 3BG > BC. - Điều này chứng tỏ BC < 2BG. Đáp số: a) Tam giác BEC = tam giác CDB b) Tam giác BGC cân tại G c) BC < 2BG

cho tam giác abc có ab = ac, bd và ce là hai đường trung tuyến cắt nhau tại g. a) chứng minh tam giác bec = tam giác cdb b) chứng minh tam giác bgc cân c) chứng minh bc < 2bg