Hâjaisososos

Câu 10. Để tính giá trị của $\int^3_0{[f(x)-g(x)]dx}$, ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân. Theo tính chất của tích phân, ta có: \[ \int^3_0{[f(x)-g(x)]dx} = \int^3_0{f(x)dx} - \int^3_0{g(x)dx} \] Ta đã biết: \[ \int^3_0{f(x)dx} = 6 \] và \[ \int^3_0{g(x)dx} = 2 \] Thay các giá trị này vào công thức trên, ta được: \[ \int^3_0{[f(x)-g(x)]dx} = 6 - 2 = 4 \] Vậy giá trị của $\int^3_0{[f(x)-g(x)]dx}$ là 4. Đáp án đúng là: B. 4. Câu 11. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sin x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = \frac{\pi}{6}$ và $x = \frac{\pi}{3}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định cận trên và cận dưới của tích phân. - Cận dưới là $x = \frac{\pi}{6}$. - Cận trên là $x = \frac{\pi}{3}$. Bước 2: Tính tích phân của hàm số $\sin x$ từ $\frac{\pi}{6}$ đến $\frac{\pi}{3}$. \[ S = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \sin x \, dx \] Bước 3: Tìm nguyên hàm của $\sin x$. \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C \] Bước 4: Áp dụng công thức Newton-Leibniz để tính giá trị của tích phân. \[ S = \left[ -\cos x \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \] \[ S = -\cos \left( \frac{\pi}{3} \right) + \cos \left( \frac{\pi}{6} \right) \] Bước 5: Thay giá trị của $\cos \left( \frac{\pi}{3} \right)$ và $\cos \left( \frac{\pi}{6} \right)$ vào. \[ \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \] \[ \cos \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Do đó: \[ S = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \] Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sin x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = \frac{\pi}{6}$ và $x = \frac{\pi}{3}$ là: \[ \boxed{\frac{\sqrt{3} - 1}{2}} \] Đáp án đúng là: A. $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$. Câu 12. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng $(P)$ được cho là: \[ x + 3y - 2z + 1 = 0 \] Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là vectơ có các thành phần tương ứng với các hệ số của $x$, $y$, và $z$ trong phương trình mặt phẳng. Do đó, vectơ pháp tuyến của $(P)$ là: \[ \overrightarrow{n} = (1, 3, -2) \] Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng đáp án để xác định vectơ nào là vectơ pháp tuyến của $(P)$: A. $\overrightarrow{n_1} = (1, -1, 2)$ B. $\overrightarrow{n_2} = (2, 0, -1)$ C. $\overrightarrow{n_3} = (1, 3, 1)$ D. $\overrightarrow{n_4} = (1, 3, -2)$ So sánh với vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1, 3, -2)$, ta thấy rằng: - Đáp án A: $\overrightarrow{n_1} = (1, -1, 2)$ không đúng vì các thành phần không khớp với $\overrightarrow{n}$. - Đáp án B: $\overrightarrow{n_2} = (2, 0, -1)$ không đúng vì các thành phần không khớp với $\overrightarrow{n}$. - Đáp án C: $\overrightarrow{n_3} = (1, 3, 1)$ không đúng vì các thành phần không khớp với $\overrightarrow{n}$. - Đáp án D: $\overrightarrow{n_4} = (1, 3, -2)$ đúng vì các thành phần khớp với $\overrightarrow{n}$. Vậy, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là: \[ \boxed{\overrightarrow{n_4} = (1, 3, -2)} \] Câu 1. a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)-1,$ trục hoành và hai đường thẳng $x=2;x=6$ là $S=1+\ln3.$ Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)-1,$ trục hoành và hai đường thẳng $x=2; x=6$, ta thực hiện như sau: \[ S = \int_{2}^{6} [f(x) - 1] \, dx = \int_{2}^{6} \left(2e^{-x} - 1\right) \, dx \] Tính tích phân từng phần: \[ \int_{2}^{6} 2e^{-x} \, dx = 2 \left[-e^{-x}\right]_{2}^{6} = 2 \left(-e^{-6} + e^{-2}\right) \] \[ \int_{2}^{6} 1 \, dx = [x]_{2}^{6} = 6 - 2 = 4 \] Do đó: \[ S = 2 \left(-e^{-6} + e^{-2}\right) - 4 = 2e^{-2} - 2e^{-6} - 4 \] Ta thấy rằng $2e^{-2} - 2e^{-6} - 4$ không bằng $1 + \ln 3$. Do đó, câu a) sai. b) Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox là $V=2\pi-\frac2{c}.$ Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2e^{-x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$ và $x = 1$ quanh trục Ox là: \[ V = \pi \int_{0}^{1} [f(x)]^2 \, dx = \pi \int_{0}^{1} (2e^{-x})^2 \, dx = 4\pi \int_{0}^{1} e^{-2x} \, dx \] Tính tích phân: \[ \int_{0}^{1} e^{-2x} \, dx = \left[-\frac{1}{2} e^{-2x}\right]_{0}^{1} = -\frac{1}{2} e^{-2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} e^{-2} \] Do đó: \[ V = 4\pi \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} e^{-2}\right) = 2\pi - 2\pi e^{-2} \] Ta thấy rằng $2\pi - 2\pi e^{-2}$ không bằng $2\pi - \frac{2}{c}$. Do đó, câu b) sai. c) $\int f(x) \, dx = \frac{c-2}{c}$ Tích phân của hàm số $f(x) = 2e^{-x}$ là: \[ \int 2e^{-x} \, dx = -2e^{-x} + C \] Ta thấy rằng $-2e^{-x} + C$ không bằng $\frac{c-2}{c}$. Do đó, câu c) sai. d) Diện tích hình phẳng (H) là $S=2-\frac{2}{c}$ Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2e^{-x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$ và $x = 1$ là: \[ S = \int_{0}^{1} 2e^{-x} \, dx = 2 \left[-e^{-x}\right]_{0}^{1} = 2 \left(-e^{-1} + 1\right) = 2 - \frac{2}{e} \] Ta thấy rằng $2 - \frac{2}{e}$ đúng với $c = e$. Do đó, câu d) đúng. Kết luận: Đáp án đúng là d) Diện tích hình phẳng (H) là $S=2-\frac{2}{e}$. Câu 2. Để giải quyết các yêu cầu trong câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Hai đường thẳng \(d\) và \(\Delta\) vuông góc với nhau. Đầu tiên, ta xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng: - Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_d} = (3, 1, -1)\). - Đường thẳng \(\Delta\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_\Delta} = (1, -1, 2)\). Hai đường thẳng vuông góc với nhau nếu tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương bằng 0: \[ \overrightarrow{u_d} \cdot \overrightarrow{u_\Delta} = 3 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 2 = 3 - 1 - 2 = 0 \] Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(\Delta\) vuông góc với nhau. b) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(4, -1, 0)\) và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u} = (3, k-1)\). Đường thẳng \(d\) đã cho có dạng tham số: \[ \frac{x-4}{3} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{-1} \] Điểm \(M(4, -1, 0)\) nằm trên đường thẳng này vì khi thay vào ta thấy thỏa mãn: \[ \frac{4-4}{3} = \frac{-1+1}{1} = \frac{0}{-1} = 0 \] Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \((3, 1, -1)\). Để đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \((3, k-1)\), ta cần: \[ k - 1 = 1 \implies k = 2 \] c) Hai đường thẳng \(d\) và \(\Delta\) song song với nhau. Hai đường thẳng song song với nhau nếu vectơ chỉ phương của chúng tỉ lệ với nhau. Ta kiểm tra: \[ \frac{3}{1} = 3, \quad \frac{1}{-1} = -1, \quad \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2} \] Các tỉ số này không bằng nhau, do đó hai đường thẳng không song song. d) Hai đường thẳng \(d\) và \(\Delta\) chéo nhau. Hai đường thẳng chéo nhau nếu chúng không song song và không cắt nhau. Chúng ta đã chứng minh rằng chúng không song song ở phần c). Để kiểm tra xem chúng có cắt nhau hay không, ta giả sử chúng cắt nhau tại điểm \(P(x, y, z)\). Từ phương trình tham số của \(d\): \[ x = 4 + 3t, \quad y = -1 + t, \quad z = -t \] Từ phương trình tham số của \(\Delta\): \[ x = 1 + s, \quad y = 2 - s, \quad z = -1 + 2s \] Ta lập hệ phương trình: \[ 4 + 3t = 1 + s \\ -1 + t = 2 - s \\ -t = -1 + 2s \] Giải hệ phương trình này: 1. \(4 + 3t = 1 + s \implies s = 3 + 3t\) 2. \(-1 + t = 2 - s \implies s = 3 - t\) 3. \(-t = -1 + 2s \implies t = 1 - 2s\) Thay \(s = 3 + 3t\) vào \(s = 3 - t\): \[ 3 + 3t = 3 - t \implies 4t = 0 \implies t = 0 \] Thay \(t = 0\) vào \(s = 3 + 3t\): \[ s = 3 \] Kiểm tra lại: \[ -t = -1 + 2s \implies 0 = -1 + 2 \cdot 3 \implies 0 = 5 \text{ (sai)} \] Do đó, hệ phương trình vô nghiệm, tức là hai đường thẳng không cắt nhau. Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(\Delta\) chéo nhau. Kết luận: a) Hai đường thẳng \(d\) và \(\Delta\) vuông góc với nhau. b) \(k = 2\) c) Hai đường thẳng \(d\) và \(\Delta\) không song song. d) Hai đường thẳng \(d\) và \(\Delta\) chéo nhau. Câu 3. a) Phương trình mặt phẳng qua điểm $A(1;-2;3)$ và song song với giá vecto $\overrightarrow u=(-2;0;0)$ và chứa giá của $\widehat v=(-1;2;3)$: - Mặt phẳng này sẽ có véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = [\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}]$. - Tính $\overrightarrow{n}$: \[ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 3 - 0 \cdot 2) - \mathbf{j}(-2 \cdot 3 - 0 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(-2 \cdot 2 - 0 \cdot (-1)) \] \[ \overrightarrow{n} = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(-6) + \mathbf{k}(-4) = (0, 6, -4) \] - Phương trình mặt phẳng: \[ 0(x - 1) + 6(y + 2) - 4(z - 3) = 0 \] \[ 6y + 12 - 4z + 12 = 0 \] \[ 6y - 4z + 24 = 0 \] \[ 3y - 2z + 12 = 0 \] b) Kiểm tra $\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{v}$: - Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (-2)(-1) + (0)(2) + (0)(3) = 2 + 0 + 0 = 2 \] - Kết luận: $\overrightarrow{u}$ không vuông góc với $\overrightarrow{v}$. c) Phương trình mặt phẳng đi qua $A(1;-2;3)$ và vuông góc với giá của $\overrightarrow{v} = (-1;2;3)$: - Mặt phẳng này sẽ có véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow{v} = (-1;2;3)$. - Phương trình mặt phẳng: \[ -1(x - 1) + 2(y + 2) + 3(z - 3) = 0 \] \[ -x + 1 + 2y + 4 + 3z - 9 = 0 \] \[ -x + 2y + 3z - 4 = 0 \] \[ x - 2y - 3z + 4 = 0 \] d) Tính tích ngoài $\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}$: - Tính $\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}$: \[ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 3 - 0 \cdot 2) - \mathbf{j}(-2 \cdot 3 - 0 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(-2 \cdot 2 - 0 \cdot (-1)) \] \[ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(-6) + \mathbf{k}(-4) = (0, 6, -4) \] Đáp số: a) Phương trình mặt phẳng: $3y - 2z + 12 = 0$ b) $\overrightarrow{u}$ không vuông góc với $\overrightarrow{v}$ c) Phương trình mặt phẳng: $x - 2y - 3z + 4 = 0$ d) $\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = (0, 6, -4)$ Câu 4. a) Họ nguyên hàm của $f(x)$ là $F(x)=-2x^2+3x+C.$ Đúng vì $\int f(x) dx = \int (-4x + 3) dx = -2x^2 + 3x + C.$ b) Nếu $G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ và $G(1)=2$ thì $G(2)=-1.$ Giả sử $G(x) = -2x^2 + 3x + C$. Ta có: \[ G(1) = -2(1)^2 + 3(1) + C = 2 \] \[ -2 + 3 + C = 2 \] \[ 1 + C = 2 \] \[ C = 1 \] Do đó, $G(x) = -2x^2 + 3x + 1$. Ta tính $G(2)$: \[ G(2) = -2(2)^2 + 3(2) + 1 = -2(4) + 6 + 1 = -8 + 6 + 1 = -1 \] Đúng. c) Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thì $F(-x)$ là một nguyên hàm của $f(-x).$ Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$, tức là $F'(x) = f(x)$. Ta cần kiểm tra xem $F(-x)$ có phải là một nguyên hàm của $f(-x)$ hay không. Ta có: \[ F'(-x) = -F'(x) = -f(x) \] Mặt khác, $f(-x) = -4(-x) + 3 = 4x + 3$. Do đó, $-f(x) = -(-4x + 3) = 4x - 3$, không phải là $f(-x)$. Vậy $F(-x)$ không phải là một nguyên hàm của $f(-x)$. Sai. d) $\int_0^1 f(x) dx = 1.$ Ta tính tích phân: \[ \int_0^1 (-4x + 3) dx = \left[ -2x^2 + 3x \right]_0^1 = (-2(1)^2 + 3(1)) - (-2(0)^2 + 3(0)) = (-2 + 3) - 0 = 1 \] Đúng. Kết luận: a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng