Cho tam giác ABC có góc B bé hơn 90 độ góc B = 2 góc C kẻ đường AH Trên tia đối của BC lấy điểm E sao cho bE = HB đường thẳng HE cắt AC tại M a)chứng minh tam giác MHC là tam giác cân b) Chứng minh M...

a) Ta có $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^{\circ}$ (tổng 3 góc trong tam giác) $\widehat{BAC}+2\times \widehat{ACB}+\widehat{ACB}=180^{\circ}$ (góc B gấp đôi góc C) $\widehat{BAC}+3\times \widehat{ACB}=180^{\circ}$ (nhân một số với một tổng) $\widehat{BAC}=180^{\circ}-3\times \widehat{ACB}$ (cùng bớt đi $\widehat{ACB}$) $\widehat{HAC}=90^{\circ}-\widehat{ACB}$ (góc HAC phụ góc ACB) $\widehat{ACH}=90^{\circ}-\widehat{ACB}$ (góc ACH phụ góc ACB) $\widehat{ACH}=\widehat{HAC}$ (2 góc bằng nhau) $\widehat{HMC}=\widehat{HAC}+\widehat{ACH}$ (góc ngoài tam giác bằng tổng 2 góc trong không kề) $\widehat{HMC}=2\times (90^{\circ}-\widehat{ACB})$ (thay giá trị) $\widehat{HMC}=180^{\circ}-2\times \widehat{ACB}$ (nhân một số với một tổng) $\widehat{HMC}=\widehat{ABC}$ (2 góc bằng nhau) $\widehat{HMC}=\widehat{MHC}$ (góc ABC bằng góc MHC) Tam giác MHC là tam giác cân (tam giác có 2 góc bằng nhau là tam giác cân) b) Ta có $\widehat{HBE}=\widehat{HBC}$ (2 góc bằng nhau) Ta có BE = BH (giả thiết) Ta có HB chung Nên tam giác HBE = tam giác HBC (cạnh kề 2 góc bằng nhau) Suy ra HE = HC (2 cạnh tương ứng) Ta có HE = HC (chứng minh trên) Ta có HM chung Nên tam giác HME = tam giác HMC (cạnh huyền và 1 cạnh góc vuông) Suy ra ME = MC (2 cạnh tương ứng) Ta có ME = MC (chứng minh trên) Ta có MA chung Nên tam giác MHE = tam giác MHC (cạnh huyền và 1 cạnh góc vuông) Suy ra AH = AC (2 cạnh tương ứng) c) Ta có HD = HB (giả thiết) Ta có HB = HE (chứng minh trên) Nên HD = HE (2 đại lượng bằng đại lượng thứ 3 thì bằng nhau) Ta có HD = HE (chứng minh trên) Ta có HK chung Nên tam giác DKH = tam giác EKH (cạnh huyền và 1 cạnh góc vuông) Suy ra $\widehat{DKH}=\widehat{EKH}$ (2 góc tương ứng) Ta có $\widehat{DKH}+\widehat{EKH}=180^{\circ}$ (hai góc kề bù) $\widehat{DKH}+\widehat{DKH}=180^{\circ}$ (2 góc bằng nhau) $2\times \widehat{DKH}=180^{\circ}$ (nhân một số với một tổng) $\widehat{DKH}=90^{\circ}$ (chia cả 2 vế cho 2) Nên AD vuông góc với KC (2 đường thẳng vuông góc khi góc giữa chúng bằng 90 độ) d) Ta có $\widehat{ACE}=\widehat{ACH}+\widehat{HCE}$ (góc tổng bằng tổng các góc tạo thành) $=\widehat{ACH}+\widehat{HCB}$ (2 góc bằng nhau) $=\widehat{ACH}+\widehat{ACH}$ (2 góc bằng nhau) $=2\times \widehat{ACH}$ (nhân một số với một tổng) $=2\times (90^{\circ}-\widehat{ACB})$ (thay giá trị) $=180^{\circ}-2\times \widehat{ACB}$ (nhân một số với một tổng) $=\widehat{ABC}$ (2 góc bằng nhau) $=\widehat{AEC}$ (2 góc bằng nhau) Nên $\widehat{ACE}< \widehat{AEC}$ (góc ngoài tam giác lớn hơn góc trong không kề)