tìm tất cả x,y thuộc số nguyên thỏa mãn
x^2 -2xy +3y^2 =x+y

Question

Accepted Answer

Để tìm tất cả các cặp số nguyên $ (x, y) $ thỏa mãn phương trình $ x^2 - 2xy + 3y^2 = x + y $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Viết lại phương trình dưới dạng:
$$ x^2 - 2xy + 3y^2 - x - y = 0 $$

Bước 2: Nhóm các hạng tử để dễ dàng nhận thấy các nhân tử:
$$ x^2 - 2xy + y^2 + 2y^2 - x - y = 0 $$
$$ (x - y)^2 + 2y^2 - x - y = 0 $$

Bước 3: Xem xét phương trình này dưới dạng một phương trình bậc hai theo $ x $:
$$ x^2 - (2y + 1)x + (3y^2 - y) = 0 $$

Bước 4: Để phương trình này có nghiệm nguyên, дискриминант (discriminant) phải là số chính phương. Ta tính discriminant:
$$ D = (2y + 1)^2 - 4(3y^2 - y) $$
$$ D = 4y^2 + 4y + 1 - 12y^2 + 4y $$
$$ D = -8y^2 + 8y + 1 $$

Bước 5: Tìm các giá trị của $ y $ sao cho $ D $ là số chính phương. Ta thử các giá trị $ y $ nhỏ:
- Nếu $ y = 0 $:
  $$ D = -8(0)^2 + 8(0) + 1 = 1 $$ (là số chính phương)
  Phương trình trở thành:
  $$ x^2 - x = 0 $$
  $$ x(x - 1) = 0 $$
  Vậy $ x = 0 $ hoặc $ x = 1 $
  Các cặp nghiệm là $ (0, 0) $ và $ (1, 0) $

- Nếu $ y = 1 $:
  $$ D = -8(1)^2 + 8(1) + 1 = 1 $$ (là số chính phương)
  Phương trình trở thành:
  $$ x^2 - 3x + 2 = 0 $$
  $$ (x - 1)(x - 2) = 0 $$
  Vậy $ x = 1 $ hoặc $ x = 2 $
  Các cặp nghiệm là $ (1, 1) $ và $ (2, 1) $

- Nếu $ y = -1 $:
  $$ D = -8(-1)^2 + 8(-1) + 1 = -15 $$ (không là số chính phương)

- Nếu $ y = 2 $:
  $$ D = -8(2)^2 + 8(2) + 1 = -15 $$ (không là số chính phương)

Vậy các cặp số nguyên $ (x, y) $ thỏa mãn phương trình là:
$$ (0, 0), (1, 0), (1, 1), (2, 1) $$

Đáp số: $ (0, 0), (1, 0), (1, 1), (2, 1) $

tìm tất cả x,y thuộc số nguyên thỏa mãn x^2 -2xy +3y^2 =x+y