Giải hộ mình câu này với các bạn

Câu 1: 1) Thực hiện phép tính \( A = \left( \frac{-3}{7} + \frac{4}{11} \right) : \frac{7}{11} + \left( \frac{-4}{7} + \frac{7}{11} \right) : \frac{7}{11} \) Ta có: \[ A = \left( \frac{-3}{7} + \frac{4}{11} \right) : \frac{7}{11} + \left( \frac{-4}{7} + \frac{7}{11} \right) : \frac{7}{11} \] Tách biểu thức thành hai phần: \[ A = \left( \frac{-3}{7} + \frac{4}{11} \right) : \frac{7}{11} + \left( \frac{-4}{7} + \frac{7}{11} \right) : \frac{7}{11} \] Chuyển đổi phép chia thành phép nhân với nghịch đảo: \[ A = \left( \frac{-3}{7} + \frac{4}{11} \right) \times \frac{11}{7} + \left( \frac{-4}{7} + \frac{7}{11} \right) \times \frac{11}{7} \] Nhóm các biểu thức lại: \[ A = \left( \frac{-3}{7} \times \frac{11}{7} + \frac{4}{11} \times \frac{11}{7} \right) + \left( \frac{-4}{7} \times \frac{11}{7} + \frac{7}{11} \times \frac{11}{7} \right) \] Rút gọn từng phần: \[ A = \left( \frac{-3 \times 11}{7 \times 7} + \frac{4 \times 11}{11 \times 7} \right) + \left( \frac{-4 \times 11}{7 \times 7} + \frac{7 \times 11}{11 \times 7} \right) \] \[ A = \left( \frac{-33}{49} + \frac{4}{7} \right) + \left( \frac{-44}{49} + \frac{7}{7} \right) \] Chuyển đổi phân số để có cùng mẫu số: \[ A = \left( \frac{-33}{49} + \frac{28}{49} \right) + \left( \frac{-44}{49} + \frac{49}{49} \right) \] \[ A = \left( \frac{-33 + 28}{49} \right) + \left( \frac{-44 + 49}{49} \right) \] \[ A = \left( \frac{-5}{49} \right) + \left( \frac{5}{49} \right) \] \[ A = \frac{-5 + 5}{49} \] \[ A = \frac{0}{49} \] \[ A = 0 \] 2) Thực hiện phép tính \( B = \left( \frac{1}{2} - 1 \right) \left( \frac{1}{3} - 1 \right) \left( \frac{1}{4} - 1 \right) ... \left( \frac{1}{2019} - 1 \right) \left( \frac{1}{2020} - 1 \right) \left( \frac{1}{2021} - 1 \right) \) Ta có: \[ B = \left( \frac{1}{2} - 1 \right) \left( \frac{1}{3} - 1 \right) \left( \frac{1}{4} - 1 \right) ... \left( \frac{1}{2019} - 1 \right) \left( \frac{1}{2020} - 1 \right) \left( \frac{1}{2021} - 1 \right) \] Chuyển đổi từng phần tử: \[ B = \left( \frac{1 - 2}{2} \right) \left( \frac{1 - 3}{3} \right) \left( \frac{1 - 4}{4} \right) ... \left( \frac{1 - 2019}{2019} \right) \left( \frac{1 - 2020}{2020} \right) \left( \frac{1 - 2021}{2021} \right) \] \[ B = \left( \frac{-1}{2} \right) \left( \frac{-2}{3} \right) \left( \frac{-3}{4} \right) ... \left( \frac{-2018}{2019} \right) \left( \frac{-2019}{2020} \right) \left( \frac{-2020}{2021} \right) \] Nhận thấy rằng mỗi phân số đều có dạng \(\frac{-n}{n+1}\): \[ B = \left( \frac{-1}{2} \right) \left( \frac{-2}{3} \right) \left( \frac{-3}{4} \right) ... \left( \frac{-2018}{2019} \right) \left( \frac{-2019}{2020} \right) \left( \frac{-2020}{2021} \right) \] Nhân liên tiếp các phân số này: \[ B = \frac{-1 \times -2 \times -3 \times ... \times -2018 \times -2019 \times -2020}{2 \times 3 \times 4 \times ... \times 2019 \times 2020 \times 2021} \] Nhận thấy rằng số lượng các thừa số âm là 2020, do đó kết quả sẽ là số dương: \[ B = \frac{(-1)^{2020} \times 1 \times 2 \times 3 \times ... \times 2018 \times 2019 \times 2020}{2 \times 3 \times 4 \times ... \times 2019 \times 2020 \times 2021} \] \[ B = \frac{1 \times 1 \times 2 \times 3 \times ... \times 2018 \times 2019 \times 2020}{2 \times 3 \times 4 \times ... \times 2019 \times 2020 \times 2021} \] \[ B = \frac{1}{2021} \] Đáp số: 1) \( A = 0 \) 2) \( B = \frac{1}{2021} \) Câu 2: 1) Ta có: $2xy+5x+3y=1$ $2xy+5x+3y+15=16$ $2x(y+\frac{5}{2})+3(y+\frac{5}{2})=16$ $(2x+3)(y+\frac{5}{2})=16$ $(2x+3)(2y+5)=32$ Ta có: 32 = 1 × 32 = 2 × 16 = 4 × 8 = (-1) × (-32) = (-2) × (-16) = (-4) × (-8) Do đó ta có các trường hợp: - $(2x+3) = 1$ và $(2y+5) = 32$ - $(2x+3) = 2$ và $(2y+5) = 16$ - $(2x+3) = 4$ và $(2y+5) = 8$ - $(2x+3) = -1$ và $(2y+5) = -32$ - $(2x+3) = -2$ và $(2y+5) = -16$ - $(2x+3) = -4$ và $(2y+5) = -8$ Giải các phương trình này để tìm x và y. 2) Ta có: $3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n = 3^n \times 3^2 - 2^n \times 2^2 + 3^n - 2^n$ $= 3^n \times 9 - 2^n \times 4 + 3^n - 2^n$ $= 3^n \times (9 + 1) - 2^n \times (4 + 1)$ $= 3^n \times 10 - 2^n \times 5$ $= 5 \times (3^n \times 2 - 2^n)$ Vì $3^n \times 2 - 2^n$ là số nguyên nên $5 \times (3^n \times 2 - 2^n)$ chia hết cho 10. 3) Ta có: $f(x) = ax^2 + bx + c$ $f(0) = c$ $f(1) = a + b + c$ $f(-1) = a - b + c$ Vì f(x) chia hết cho 3 với mọi x nên f(0), f(1), f(-1) đều chia hết cho 3. Do đó: - $c$ chia hết cho 3 - $a + b + c$ chia hết cho 3 - $a - b + c$ chia hết cho 3 Từ đây suy ra $a$, $b$, $c$ đều chia hết cho 3. Câu 3: 1) Ta có: $\frac{2}{3}$ số học sinh của nhóm I bằng $\frac{8}{11}$ số học sinh của nhóm II và bằng $\frac{4}{5}$ số học sinh nhóm III. Tỉ số giữa số học sinh của nhóm I và nhóm II là $\frac{3}{2} \times \frac{8}{11} = \frac{12}{11}$. Tỉ số giữa số học sinh của nhóm I và nhóm III là $\frac{3}{2} \times \frac{4}{5} = \frac{6}{5}$. Tổng số phần bằng nhau là $12 + 11 + 6 = 29$ (phần). Số học sinh của nhóm I là $18 : (29 - 12 - 6) \times 12 = 36$ (học sinh). Số học sinh của nhóm II là $36 : 12 \times 11 = 33$ (học sinh). Số học sinh của nhóm III là $36 : 6 \times 5 = 30$ (học sinh). Đáp số: Nhóm I: 36 học sinh, Nhóm II: 33 học sinh, Nhóm III: 30 học sinh. 2) Số học sinh nữ trong lớp là $45 - 20 - 5 = 20$ (học sinh). Xác suất để học sinh được chọn là học sinh nữ là $\frac{20}{45} = \frac{4}{9}$. Đáp số: $\frac{4}{9}$. 3) Ta có: $f(x) = x^{10} - 101x^9 + 101x^8 - 101x^7 + ... - 101x + 2023$. Thay $x = 100$ vào biểu thức trên ta được: $f(100) = 100^{10} - 101 \times 100^9 + 101 \times 100^8 - 101 \times 100^7 + ... - 101 \times 100 + 2023$. Nhóm các hạng tử theo cặp: $(100^{10} - 101 \times 100^9) + (101 \times 100^8 - 101 \times 100^7) + ... + (-101 \times 100 + 2023)$. Mỗi cặp hạng tử có dạng $(a - b) + (b - a) = 0$, do đó tổng của các cặp này là 0. Vậy $f(100) = 0 + 0 + ... + 0 + 2023 = 2023$. Đáp số: 2023. Câu 4: a) Ta có: $\widehat{BAM}=\widehat{CAN}=90^0-\widehat{A}$ $\widehat{MAC}=\widehat{BAN}=90^0+\widehat{A}$ $AB=AM;AC=AN$ Do đó $\Delta AMC=\Delta ABN(c.c.c)$ b) Từ $\Delta AMC=\Delta ABN$ ta có: $\widehat{AMC}=\widehat{ABN}$ Mà $\widehat{ABN}+\widehat{ANB}=90^0$ nên $\widehat{AMC}+\widehat{ANB}=90^0$ Từ đó suy ra $BN\bot CM$ c) Gọi O là giao điểm của BN và CM. Ta có $\Delta AMO=\Delta ANO(c.c.c)$ suy ra $OM=ON$ Mặt khác $\Delta AMO=\Delta ANO$ suy ra $\widehat{AOM}=\widehat{AON}=90^0$ Mà $\widehat{AHB}=90^0$ nên A, H, O thẳng hàng. Vậy AH đi qua trung điểm của MN. Câu 5: Ta thấy: $\frac{3}{4}=1-\frac{1}{4}$ $\frac{8}{9}=1-\frac{1}{9}$ .... $\frac{n^2-1}{n^2}=1-\frac{1}{n^2}$ Vậy S$=(1-\frac{1}{4})+(1-\frac{1}{9})+...+(1-\frac{1}{n^2})$ $=n-1-(\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{n^2})$ Ta thấy $\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{n^2}$ là 1 số thập phân nên S không thể là số nguyên.