giải dùm em được không ạ

Câu 1: Để tính khoảng cách từ máy bay đến bức tường, ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Công thức khoảng cách từ điểm \( M(x_0; y_0; z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Trong đó: - \( M(4; -1; 3) \) - Mặt phẳng \( 3x + 2y - z - 5 = 0 \) Áp dụng công thức trên: \[ d = \frac{|3 \cdot 4 + 2 \cdot (-1) - 1 \cdot 3 - 5|}{\sqrt{3^2 + 2^2 + (-1)^2}} \] Tính toán từng phần: \[ 3 \cdot 4 = 12 \] \[ 2 \cdot (-1) = -2 \] \[ -1 \cdot 3 = -3 \] \[ 12 - 2 - 3 - 5 = 2 \] Do đó: \[ d = \frac{|2|}{\sqrt{9 + 4 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{14}} \] Chuyển về dạng số thập phân và làm tròn đến phần mười: \[ d \approx \frac{2}{3.74} \approx 0.53 \] Vậy khoảng cách từ máy bay đến bức tường là khoảng 0.5 đơn vị (làm tròn đến phần mười). Đáp số: 0.5 Câu 2: Để xác định số người nhiễm virus cúm sau một tuần, chúng ta cần tìm hàm số \( P(t) \) từ đạo hàm \( P'(t) \). Bước 1: Tích phân để tìm \( P(t) \) \[ P'(t) = -0,04Ce^{-0,04t} \] Tích phân cả hai vế: \[ P(t) = \int -0,04Ce^{-0,04t} \, dt \] Sử dụng công thức tích phân \( \int e^{ax} \, dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C \): \[ P(t) = -0,04C \left( \frac{1}{-0,04} e^{-0,04t} \right) + D = Ce^{-0,04t} + D \] Bước 2: Xác định hằng số \( D \) bằng cách sử dụng điều kiện ban đầu Biết rằng sau 5 ngày, số người bị nhiễm virus cúm là 60 người: \[ P(5) = 60 \] Thay vào phương trình: \[ Ce^{-0,04 \cdot 5} + D = 60 \] \[ Ce^{-0,2} + D = 60 \] Bước 3: Xác định \( C \) và \( D \) Chúng ta cần thêm thông tin về \( P(0) \) để xác định \( C \) và \( D \). Giả sử ban đầu không có ai bị nhiễm (tức là \( P(0) = 0 \)): \[ P(0) = Ce^{-0,04 \cdot 0} + D = C + D = 0 \] \[ D = -C \] Thay \( D = -C \) vào phương trình \( Ce^{-0,2} + D = 60 \): \[ Ce^{-0,2} - C = 60 \] \[ C(e^{-0,2} - 1) = 60 \] \[ C = \frac{60}{e^{-0,2} - 1} \] Bước 4: Tính \( P(7) \) \[ P(7) = Ce^{-0,04 \cdot 7} + D \] \[ P(7) = Ce^{-0,28} - C \] \[ P(7) = C(e^{-0,28} - 1) \] \[ P(7) = \frac{60}{e^{-0,2} - 1} (e^{-0,28} - 1) \] Bước 5: Tính toán cụ thể \[ e^{-0,2} \approx 0,8187 \] \[ e^{-0,28} \approx 0,7561 \] \[ C = \frac{60}{0,8187 - 1} = \frac{60}{-0,1813} \approx -330,9 \] \[ P(7) = -330,9 (0,7561 - 1) = -330,9 (-0,2439) \approx 80,8 \] Vậy số người nhiễm virus cúm sau một tuần là khoảng 81 người (làm tròn đến hàng đơn vị). Câu 3: Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = x^3 - x \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = -2 \) và \( x = 0,4 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm giao của đồ thị với trục hoành: Ta giải phương trình \( y = 0 \): \[ x^3 - x = 0 \implies x(x^2 - 1) = 0 \implies x(x-1)(x+1) = 0 \] Vậy các điểm giao của đồ thị với trục hoành là \( x = 0 \), \( x = 1 \) và \( x = -1 \). 2. Phân tích đoạn miền tích phân: Ta cần tính diện tích từ \( x = -2 \) đến \( x = 0,4 \). Do đó, ta sẽ chia thành các đoạn: - Từ \( x = -2 \) đến \( x = -1 \) - Từ \( x = -1 \) đến \( x = 0 \) - Từ \( x = 0 \) đến \( x = 0,4 \) 3. Tính diện tích từng đoạn: Diện tích \( A \) của mỗi đoạn được tính bằng tích phân của giá trị tuyệt đối của hàm số \( y = x^3 - x \) trên đoạn đó. - Đoạn từ \( x = -2 \) đến \( x = -1 \): \[ A_1 = \int_{-2}^{-1} |x^3 - x| \, dx = \int_{-2}^{-1} -(x^3 - x) \, dx = \int_{-2}^{-1} (-x^3 + x) \, dx \] Tính tích phân: \[ \int_{-2}^{-1} (-x^3 + x) \, dx = \left[ -\frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{-1} \] Thay cận: \[ \left( -\frac{(-1)^4}{4} + \frac{(-1)^2}{2} \right) - \left( -\frac{(-2)^4}{4} + \frac{(-2)^2}{2} \right) = \left( -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \right) - \left( -4 + 2 \right) = \left( \frac{1}{4} \right) - (-2) = \frac{1}{4} + 2 = 2.25 \] - Đoạn từ \( x = -1 \) đến \( x = 0 \): \[ A_2 = \int_{-1}^{0} |x^3 - x| \, dx = \int_{-1}^{0} (x^3 - x) \, dx \] Tính tích phân: \[ \int_{-1}^{0} (x^3 - x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} \] Thay cận: \[ \left( \frac{0^4}{4} - \frac{0^2}{2} \right) - \left( \frac{(-1)^4}{4} - \frac{(-1)^2}{2} \right) = 0 - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) = 0 - \left( -\frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4} \] - Đoạn từ \( x = 0 \) đến \( x = 0,4 \): \[ A_3 = \int_{0}^{0,4} |x^3 - x| \, dx = \int_{0}^{0,4} -(x^3 - x) \, dx = \int_{0}^{0,4} (-x^3 + x) \, dx \] Tính tích phân: \[ \int_{0}^{0,4} (-x^3 + x) \, dx = \left[ -\frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{0,4} \] Thay cận: \[ \left( -\frac{(0,4)^4}{4} + \frac{(0,4)^2}{2} \right) - \left( -\frac{0^4}{4} + \frac{0^2}{2} \right) = \left( -\frac{0,0016}{4} + \frac{0,16}{2} \right) - 0 = \left( -0,0004 + 0,08 \right) = 0,0796 \] 4. Tổng diện tích: Tổng diện tích \( A \) là tổng diện tích của ba đoạn: \[ A = A_1 + A_2 + A_3 = 2.25 + 0.25 + 0.0796 = 2.5796 \] 5. Làm tròn đến phần mười: \[ A \approx 2.6 \] Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = x^3 - x \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = -2 \) và \( x = 0,4 \) là \( 2.6 \). Câu 4: Để tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( f(x) = 4 - x^2 \), trục Ox và đường thẳng \( x = 2 \) quanh trục Ox, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng tích phân: - Đồ thị hàm số \( f(x) = 4 - x^2 \) cắt trục Ox tại điểm \( x = 2 \) (vì \( 4 - x^2 = 0 \Rightarrow x = 2 \)). - Do đó, khoảng tích phân là từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \). 2. Áp dụng công thức tính thể tích vật thể tròn xoay: - Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh trục Ox là: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] - Trong trường hợp này, \( a = 0 \), \( b = 2 \), và \( f(x) = 4 - x^2 \). 3. Thay vào công thức và tính tích phân: \[ V = \pi \int_{0}^{2} (4 - x^2)^2 \, dx \] - Ta mở rộng biểu thức trong tích phân: \[ (4 - x^2)^2 = 16 - 8x^2 + x^4 \] - Do đó: \[ V = \pi \int_{0}^{2} (16 - 8x^2 + x^4) \, dx \] 4. Tính từng phần của tích phân: \[ V = \pi \left[ \int_{0}^{2} 16 \, dx - \int_{0}^{2} 8x^2 \, dx + \int_{0}^{2} x^4 \, dx \right] \] - Tính từng phần: \[ \int_{0}^{2} 16 \, dx = 16x \Big|_{0}^{2} = 16(2) - 16(0) = 32 \] \[ \int_{0}^{2} 8x^2 \, dx = 8 \cdot \frac{x^3}{3} \Big|_{0}^{2} = 8 \cdot \frac{2^3}{3} - 8 \cdot \frac{0^3}{3} = 8 \cdot \frac{8}{3} = \frac{64}{3} \] \[ \int_{0}^{2} x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} \Big|_{0}^{2} = \frac{2^5}{5} - \frac{0^5}{5} = \frac{32}{5} \] 5. Gộp lại và tính thể tích: \[ V = \pi \left( 32 - \frac{64}{3} + \frac{32}{5} \right) \] - Chuyển tất cả về cùng mẫu số: \[ 32 = \frac{480}{15}, \quad \frac{64}{3} = \frac{320}{15}, \quad \frac{32}{5} = \frac{96}{15} \] - Cộng trừ các phân số: \[ V = \pi \left( \frac{480}{15} - \frac{320}{15} + \frac{96}{15} \right) = \pi \left( \frac{480 - 320 + 96}{15} \right) = \pi \left( \frac{256}{15} \right) \] - Kết quả cuối cùng: \[ V = \frac{256\pi}{15} \approx 53.62 \text{ (đơn vị thể tích)} \] Do đó, thể tích vật thể tròn xoay là khoảng 54 đơn vị thể tích (làm tròn đến hàng đơn vị). Câu 5: Để tính hiệu suất của tim, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số đã cho: - A = 10 mg (lượng chất chỉ thị màu bơm vào) - c(t) = 0,25t(12 - t) (nồng độ chất chỉ thị màu tại thời điểm t) - T = 12 giây (thời điểm khi chất chỉ thị màu tan sạch) 2. Tính tích phân $\int_{0}^{12} c(t) dt$: \[ \int_{0}^{12} c(t) dt = \int_{0}^{12} 0,25t(12 - t) dt \] Ta mở rộng biểu thức trong tích phân: \[ 0,25t(12 - t) = 3t - 0,25t^2 \] Do đó: \[ \int_{0}^{12} (3t - 0,25t^2) dt \] 3. Tính từng phần của tích phân: \[ \int_{0}^{12} 3t dt = 3 \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{12} = 3 \left( \frac{12^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = 3 \times 72 = 216 \] \[ \int_{0}^{12} 0,25t^2 dt = 0,25 \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{12} = 0,25 \left( \frac{12^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = 0,25 \times 576 = 144 \] 4. Kết hợp các kết quả: \[ \int_{0}^{12} (3t - 0,25t^2) dt = 216 - 144 = 72 \] 5. Tính hiệu suất của tim F: \[ F = \frac{A}{\int_{0}^{12} c(t) dt} = \frac{10}{72} = \frac{5}{36} \] Vậy hiệu suất của tim là $\frac{5}{36}$ lít/giây. Câu 6: Để tính diện tích inox 304 cần có để làm logo này, ta sẽ tính diện tích của phần giới hạn bởi hai parabol. Phương trình của hai parabol là: \[ y = x^2 \] \[ y = -(x-2)^2 + 4 \] Diện tích cần tính là diện tích giữa hai parabol từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \). Ta sẽ tính diện tích này bằng cách lấy diện tích dưới parabol thứ hai trừ đi diện tích dưới parabol thứ nhất. Diện tích dưới parabol thứ hai từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \) là: \[ A_2 = \int_{0}^{2} [-(x-2)^2 + 4] \, dx \] Diện tích dưới parabol thứ nhất từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \) là: \[ A_1 = \int_{0}^{2} x^2 \, dx \] Diện tích cần tính là: \[ A = A_2 - A_1 \] Tính \( A_2 \): \[ A_2 = \int_{0}^{2} [-(x-2)^2 + 4] \, dx \] \[ = \int_{0}^{2} [-x^2 + 4x - 4 + 4] \, dx \] \[ = \int_{0}^{2} (-x^2 + 4x) \, dx \] \[ = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 \right]_{0}^{2} \] \[ = \left( -\frac{2^3}{3} + 2 \cdot 2^2 \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + 2 \cdot 0^2 \right) \] \[ = \left( -\frac{8}{3} + 8 \right) - 0 \] \[ = \frac{-8 + 24}{3} \] \[ = \frac{16}{3} \] Tính \( A_1 \): \[ A_1 = \int_{0}^{2} x^2 \, dx \] \[ = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} \] \[ = \left( \frac{2^3}{3} \right) - \left( \frac{0^3}{3} \right) \] \[ = \frac{8}{3} \] Diện tích cần tính là: \[ A = A_2 - A_1 \] \[ = \frac{16}{3} - \frac{8}{3} \] \[ = \frac{8}{3} \] Vậy diện tích inox 304 cần có để làm logo này là: \[ \frac{8}{3} \approx 2.7 \text{ (đơn vị decimét vuông)} \] Đáp số: 2.7 decimét vuông.