Giải giúp mìn với Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng,(P) đi qua điểm $B(2;1;-3),$ đồng thời vuông góc,với hai mặt phẳng $(Q):~x+y+3z=0,$,$(R):~2x-y+z=0$ là,$A|4x+5y-3z+22=0.$,$B|4x-5y-3z-12=0.$,$c|2x+y-3z-14=0.$,$D|4x+5y-3z-22=0.$

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm B(2;1;-3) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q) và (R).

Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng (Q) và (R).
- Mặt phẳng (Q): x + y + 3z = 0 có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}_Q = (1, 1, 3)$.
- Mặt phẳng (R): 2x - y + z = 0 có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}_R = (2, -1, 1)$.

Bước 2: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) bằng cách tính tích vector của $\vec{n}_Q$ và $\vec{n}_R$.
$$
\vec{n}_P = \vec{n}_Q \times \vec{n}_R = 
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
1 & 1 & 3 \
2 & -1 & 1
\end{vmatrix}
= \vec{i}(1 \cdot 1 - 3 \cdot (-1)) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 3 \cdot 2) + \vec{k}(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 2)
= \vec{i}(1 + 3) - \vec{j}(1 - 6) + \vec{k}(-1 - 2)
= 4\vec{i} + 5\vec{j} - 3\vec{k}
$$
Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n}_P = (4, 5, -3)$.

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm B(2;1;-3) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_P = (4, 5, -3)$.
Phương trình mặt phẳng có dạng:
$$
4(x - 2) + 5(y - 1) - 3(z + 3) = 0
$$
Mở rộng và đơn giản hóa phương trình:
$$
4x - 8 + 5y - 5 - 3z - 9 = 0
$$
$$
4x + 5y - 3z - 22 = 0
$$

Vậy phương trình của mặt phẳng (P) là:
$$
4x + 5y - 3z - 22 = 0
$$

Đáp án đúng là: D $4x + 5y - 3z - 22 = 0$.