Giúp tôi với ạ

BÀI 1: Để tính nguyên hàm của hàm số lũy thừa, ta áp dụng công thức cơ bản sau: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad \text{(với } n \neq -1) \] Bây giờ, ta sẽ đi qua từng bước chi tiết để tính nguyên hàm của một hàm số lũy thừa cụ thể. Bước 1: Xác định hàm số cần tính nguyên hàm. Giả sử ta cần tính nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^3 \). Bước 2: Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm lũy thừa: \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C \] Bước 3: Viết kết quả cuối cùng: \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C \] Lưu ý: - Nếu hàm số có dạng \( f(x) = kx^n \) (trong đó \( k \) là hằng số), ta có thể tách hằng số ra ngoài dấu tích phân: \[ \int kx^n \, dx = k \int x^n \, dx = k \left( \frac{x^{n+1}}{n+1} \right) + C \] - Nếu \( n = -1 \), ta cần áp dụng công thức riêng biệt: \[ \int x^{-1} \, dx = \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C \] Ví dụ khác: Giả sử ta cần tính nguyên hàm của hàm số \( g(x) = 5x^2 \). Bước 1: Xác định hàm số cần tính nguyên hàm: \( g(x) = 5x^2 \). Bước 2: Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm lũy thừa: \[ \int 5x^2 \, dx = 5 \int x^2 \, dx = 5 \left( \frac{x^{2+1}}{2+1} \right) + C = 5 \left( \frac{x^3}{3} \right) + C = \frac{5x^3}{3} + C \] Bước 3: Viết kết quả cuối cùng: \[ \int 5x^2 \, dx = \frac{5x^3}{3} + C \] Như vậy, ta đã hoàn thành việc tính nguyên hàm của hàm số lũy thừa theo từng bước chi tiết. Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một để xác định mệnh đề nào là sai. A. $\int f(x)dx = F(x) + C.$ Theo định nghĩa của nguyên hàm, nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $K$, thì $\int f(x)dx = F(x) + C$, trong đó $C$ là hằng số tùy ý. Mệnh đề này đúng. B. $(\int f(x)dx)' = f(x).$ Theo tính chất của đạo hàm và nguyên hàm, đạo hàm của nguyên hàm của một hàm số lại chính là hàm số ban đầu. Do đó, $(\int f(x)dx)' = f(x)$. Mệnh đề này đúng. C. $(\int f(x)dx)' = f'(x).$ Mệnh đề này sai vì đạo hàm của nguyên hàm của $f(x)$ là $f(x)$ chứ không phải là đạo hàm của $f(x)$, tức là $f'(x)$. D. $(\int f(x)dx)' = F'(x).$ Do $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$, nên đạo hàm của $F(x)$ chính là $f(x)$. Vì vậy, $(\int f(x)dx)' = F'(x) = f(x)$. Mệnh đề này đúng. Kết luận: Mệnh đề sai là C. $(\int f(x)dx)' = f'(x).$ Đáp án: C. Câu 2. Để tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2x + 6 \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của hàm số này. Bước 1: Tính nguyên hàm của \( 2x \): \[ \int 2x \, dx = 2 \int x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 \] Bước 2: Tính nguyên hàm của \( 6 \): \[ \int 6 \, dx = 6x \] Bước 3: Cộng lại các kết quả trên và thêm hằng số \( C \): \[ \int (2x + 6) \, dx = x^2 + 6x + C \] Vậy tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2x + 6 \) là: \[ x^2 + 6x + C \] Do đó, đáp án đúng là: B. \( x^2 + 6x + C \) Câu 3. Để tính $\int x^2 dx$, ta áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad \text{với} \quad n \neq -1 \] Trong trường hợp này, \( n = 2 \). Do đó: \[ \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C \] Vậy đáp án đúng là: B. $\frac{1}{3}x^3 + C$ Đáp án: B. $\frac{1}{3}x^3 + C$ Câu 4. Để tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 + 1 \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của hàm số này. Bước 1: Tính nguyên hàm của \( 3x^2 \). \[ \int 3x^2 \, dx = 3 \int x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \] Bước 2: Tính nguyên hàm của \( 1 \). \[ \int 1 \, dx = x \] Bước 3: Cộng các kết quả trên lại và thêm hằng số \( C \). \[ \int (3x^2 + 1) \, dx = x^3 + x + C \] Vậy họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 + 1 \) là \( x^3 + x + C \). Do đó, đáp án đúng là: D. \( x^3 + x + C \). Câu 5. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^3 + x \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của mỗi hạng tử trong tổng. Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( x^3 \). \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C_1 \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của \( x \). \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_2 \] Bước 3: Cộng các kết quả nguyên hàm lại với nhau. \[ \int (x^3 + x) \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + C \] Trong đó, \( C = C_1 + C_2 \) là hằng số tích phân. Vậy nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^3 + x \) là: \[ \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + C \] Do đó, đáp án đúng là: A. $\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + C$ Đáp án: A. $\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + C$ Câu 6. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^4 + x^2 \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của mỗi hạng tử trong tổng. Bước 1: Tính nguyên hàm của \( x^4 \). \[ \int x^4 \, dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} + C_1 = \frac{x^5}{5} + C_1 \] Bước 2: Tính nguyên hàm của \( x^2 \). \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C_2 = \frac{x^3}{3} + C_2 \] Bước 3: Cộng các kết quả nguyên hàm lại với nhau. \[ \int (x^4 + x^2) \, dx = \frac{x^5}{5} + \frac{x^3}{3} + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số tích phân tổng quát, bao gồm cả \( C_1 \) và \( C_2 \). Do đó, nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^4 + x^2 \) là: \[ \frac{x^5}{5} + \frac{x^3}{3} + C \] Vậy đáp án đúng là: A. $\frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{3}x^3 + C$ Đáp án: A. $\frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{3}x^3 + C$ Câu 7. Để xác định hàm số nào không là nguyên hàm của hàm số \( y = x^{2022} \), ta cần kiểm tra đạo hàm của mỗi hàm số đã cho xem có bằng \( x^{2022} \) hay không. A. \( \frac{x^{2023}}{2023} + 1 \) Ta tính đạo hàm của \( \frac{x^{2023}}{2023} + 1 \): \[ \left( \frac{x^{2023}}{2023} + 1 \right)' = \frac{2023x^{2022}}{2023} + 0 = x^{2022} \] B. \( \frac{x^{2023}}{2023} \) Ta tính đạo hàm của \( \frac{x^{2023}}{2023} \): \[ \left( \frac{x^{2023}}{2023} \right)' = \frac{2023x^{2022}}{2023} = x^{2022} \] C. \( y = 2022x^{2021} \) Ta tính đạo hàm của \( 2022x^{2021} \): \[ (2022x^{2021})' = 2022 \cdot 2021x^{2020} = 4088442x^{2020} \neq x^{2022} \] D. \( \frac{x^{2023}}{2023} - 1 \) Ta tính đạo hàm của \( \frac{x^{2023}}{2023} - 1 \): \[ \left( \frac{x^{2023}}{2023} - 1 \right)' = \frac{2023x^{2022}}{2023} - 0 = x^{2022} \] Như vậy, chỉ có hàm số \( y = 2022x^{2021} \) không là nguyên hàm của hàm số \( y = x^{2022} \). Đáp án đúng là: C. \( y = 2022x^{2021} \). Câu 8. Để tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + x - 2024$, ta thực hiện từng bước như sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của mỗi hạng tử riêng lẻ trong biểu thức. - Nguyên hàm của $\frac{1}{3}x^3$ là $\frac{1}{3} \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{1}{12}x^4$. - Nguyên hàm của $-2x^2$ là $-2 \cdot \frac{x^3}{3} = -\frac{2}{3}x^3$. - Nguyên hàm của $x$ là $\frac{x^2}{2}$. - Nguyên hàm của hằng số $-2024$ là $-2024x$. Bước 2: Gộp tất cả các nguyên hàm lại và thêm hằng số $C$ vào cuối cùng. Do đó, nguyên hàm của $f(x)$ là: \[ F(x) = \frac{1}{12}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{x^2}{2} - 2024x + C \] Vậy đáp án đúng là: C. $\frac{1}{12}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{x^2}{2} - 2024x + C$. Câu 9. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = (x+1)(x+2)(x+3) \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân các đa thức để đơn giản hóa biểu thức: \[ f(x) = (x+1)(x+2)(x+3) \] Nhân từng cặp: \[ (x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2 \] Tiếp tục nhân với \( (x+3) \): \[ (x^2 + 3x + 2)(x+3) = x^3 + 3x^2 + 3x^2 + 9x + 2x + 6 = x^3 + 6x^2 + 11x + 6 \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của biểu thức đã đơn giản hóa: \[ F(x) = \int (x^3 + 6x^2 + 11x + 6) \, dx \] Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần: \[ F(x) = \int x^3 \, dx + \int 6x^2 \, dx + \int 11x \, dx + \int 6 \, dx \] Tính từng nguyên hàm riêng lẻ: \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} \] \[ \int 6x^2 \, dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3 \] \[ \int 11x \, dx = 11 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{11}{2}x^2 \] \[ \int 6 \, dx = 6x \] Gộp lại: \[ F(x) = \frac{x^4}{4} + 2x^3 + \frac{11}{2}x^2 + 6x + C \] Vậy đáp án đúng là: C. \( F(x) = \frac{x^4}{4} + 2x^3 + \frac{11}{2}x^2 + 6x + C \) Câu 10. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = (5x + 3)^5 \), ta áp dụng phương pháp nguyên hàm của hàm hợp. Bước 1: Xác định u và u'. - Đặt \( u = 5x + 3 \). - Khi đó, \( u' = 5 \). Bước 2: Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm hợp. - Nguyên hàm của \( u^n \) là \( \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \). Áp dụng vào bài toán: \[ \int (5x + 3)^5 \, dx = \int u^5 \, dx \] Bước 3: Thay \( u \) và \( u' \) vào công thức. - Ta có \( \int u^5 \, dx = \int u^5 \cdot \frac{1}{5} \, du \). Bước 4: Tính nguyên hàm. \[ \int u^5 \cdot \frac{1}{5} \, du = \frac{1}{5} \int u^5 \, du = \frac{1}{5} \cdot \frac{u^6}{6} + C = \frac{u^6}{30} + C \] Bước 5: Thay trở lại \( u = 5x + 3 \). \[ \frac{(5x + 3)^6}{30} + C \] Vậy nguyên hàm của hàm số \( f(x) = (5x + 3)^5 \) là: \[ \boxed{\frac{(5x + 3)^6}{30} + C} \] Do đó, đáp án đúng là: C. $\frac{(5x+3)^6}{30}+C$. Câu 11. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^2 + \frac{2}{x^2} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tách hàm số thành hai phần riêng biệt: \[ f(x) = x^2 + \frac{2}{x^2} \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của mỗi phần riêng biệt: - Nguyên hàm của \( x^2 \): \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1 \] - Nguyên hàm của \( \frac{2}{x^2} \): \[ \int \frac{2}{x^2} \, dx = 2 \int x^{-2} \, dx = 2 \left( \frac{x^{-1}}{-1} \right) + C_2 = -\frac{2}{x} + C_2 \] Bước 3: Kết hợp các nguyên hàm lại: \[ \int f(x) \, dx = \int x^2 \, dx + \int \frac{2}{x^2} \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C \] Trong đó, \( C = C_1 + C_2 \) là hằng số tích phân. Vậy nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^2 + \frac{2}{x^2} \) là: \[ \int f(x) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C \] Do đó, đáp án đúng là: B. \(\int f(x) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C\). Câu 8. a) Chiếm tỉ trọng lớn nhất trong GDP, lao động đông nhất. - Đúng: Ngành dịch vụ của Hoa Kỳ chiếm tỉ trọng lớn nhất trong GDP và cũng là ngành có số lượng lao động đông nhất. b) Giao thông vận tải đa dạng và hiện đại bậc nhất thế giới. - Đúng: Hệ thống giao thông vận tải của Hoa Kỳ rất đa dạng và hiện đại, bao gồm đường bộ, đường sắt, hàng không và đường thủy. c) Viễn thông ở hàng đầu thế giới, tốc độ phát triển nhanh. - Đúng: Viễn thông của Hoa Kỳ là một trong những ngành hàng đầu thế giới với tốc độ phát triển nhanh chóng. d) Thị trường tài chính lớn nhất, du lịch đứng đầu thế giới. - Đúng: Thị trường tài chính của Hoa Kỳ là lớn nhất thế giới và ngành du lịch cũng rất phát triển, thu hút nhiều khách du lịch quốc tế. Tóm lại, tất cả các phát biểu đều đúng về ngành dịch vụ của Hoa Kỳ. Câu 9. Để xác định các phát biểu đúng và sai về nguyên nhân làm cho nền kinh tế Hoa Kỳ phát triển cao, chúng ta cần xem xét từng phát biểu một cách chi tiết. Dưới đây là một số phát biểu thường gặp và lập luận về chúng: 1. Hoa Kỳ có nguồn tài nguyên thiên nhiên phong phú: - Lập luận: Đúng. Hoa Kỳ sở hữu nhiều loại tài nguyên thiên nhiên đa dạng như dầu mỏ, than đá, khí đốt tự nhiên, kim loại quý, và đất nông nghiệp màu mỡ. Điều này tạo điều kiện thuận lợi cho sản xuất công nghiệp và nông nghiệp, góp phần quan trọng vào sự phát triển kinh tế. 2. Hoa Kỳ có hệ thống giáo dục tiên tiến và chất lượng cao: - Lập luận: Đúng. Hệ thống giáo dục của Hoa Kỳ được đánh giá cao trên thế giới, với nhiều trường đại học hàng đầu thế giới. Điều này giúp đào tạo nguồn nhân lực chất lượng cao, thúc đẩy nghiên cứu khoa học và đổi mới công nghệ, từ đó hỗ trợ sự phát triển kinh tế. 3. Hoa Kỳ có vị trí địa lý thuận lợi: - Lập luận: Đúng. Vị trí địa lý của Hoa Kỳ nằm ở Bắc Mỹ, có đường bờ biển dài và nhiều cảng biển lớn, thuận lợi cho thương mại quốc tế. Đồng thời, nước này cũng có mạng lưới giao thông nội bộ phát triển, giúp lưu thông hàng hóa dễ dàng. 4. Hoa Kỳ có chính sách thuế hấp dẫn cho doanh nghiệp: - Lập luận: Đúng. Chính phủ Hoa Kỳ đã thực hiện nhiều cải cách thuế nhằm thu hút đầu tư và khuyến khích doanh nghiệp phát triển. Các chính sách thuế ưu đãi giúp giảm chi phí hoạt động cho doanh nghiệp, từ đó thúc đẩy tăng trưởng kinh tế. 5. Hoa Kỳ có thị trường lao động linh hoạt và đa dạng: - Lập luận: Đúng. Thị trường lao động của Hoa Kỳ rất linh hoạt, với nhiều ngành nghề và cơ hội việc làm khác nhau. Điều này giúp đáp ứng nhu cầu của các doanh nghiệp và thúc đẩy sự phát triển kinh tế. 6. Hoa Kỳ có chính sách bảo hộ mậu dịch mạnh mẽ: - Lập luận: Sai. Mặc dù Hoa Kỳ có một số chính sách bảo hộ mậu dịch, nhưng trong thời kỳ gần đây, nước này đã tham gia vào nhiều hiệp định thương mại tự do và giảm dần các rào cản thương mại. Chính sách bảo hộ mậu dịch quá mức có thể gây hại cho nền kinh tế bằng cách hạn chế cạnh tranh và làm tăng giá thành sản phẩm. 7. Hoa Kỳ có hệ thống pháp luật và cơ sở hạ tầng kém phát triển: - Lập luận: Sai. Hệ thống pháp luật của Hoa Kỳ được xây dựng khá hoàn thiện, đảm bảo quyền lợi của doanh nghiệp và người tiêu dùng. Cơ sở hạ tầng của nước này cũng rất phát triển, với mạng lưới giao thông, điện lực, viễn thông hiện đại, hỗ trợ hiệu quả cho hoạt động kinh tế. Tóm lại, các phát biểu đúng về nguyên nhân làm cho nền kinh tế Hoa Kỳ phát triển cao bao gồm: - Nguồn tài nguyên thiên nhiên phong phú. - Hệ thống giáo dục tiên tiến và chất lượng cao. - Vị trí địa lý thuận lợi. - Chính sách thuế hấp dẫn cho doanh nghiệp. - Thị trường lao động linh hoạt và đa dạng. Các phát biểu sai bao gồm: - Chính sách bảo hộ mậu dịch mạnh mẽ. - Hệ thống pháp luật và cơ sở hạ tầng kém phát triển.