Giúp mình với! Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ $BH\bot AC;CK\bot AB~(H\in AC;K\in AB).$,a) Chứng minh tam giác AKH là tam giác cân,b) Gọi I là giao của BH và CK; AI cắt BC tại M. Chứng minh rằng IM là phân giác của $\widehat{BIC}.$,c) Chứng minh: $HK//BC.$

Question

『MYQ』Âu Dương Giai Kì (歐陽佳琦) · Accepted Answer

a)
Tam giác ABC cân tại A $\displaystyle \Longrightarrow \begin{cases}
AB=AC & \
\widehat{ABC} =\widehat{ACB} &
\end{cases}$
Có: $\displaystyle \begin{cases}
BH\bot AC & \
CK\bot AB &
\end{cases} \Longrightarrow \widehat{AHB} =\widehat{AKC} =90^{0}$
Xét $\displaystyle riangle ABH$ và $\displaystyle riangle ACK$, có:
$\displaystyle \widehat{AHB} =\widehat{AKC} =90^{0}$
AB=AC
$\displaystyle \hat{A}$ chung
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Longrightarrow riangle ABH= riangle ACK\ ( ch-gn)\
\Longrightarrow AH=AK
\end{array}$
⟹ Tam giác AHK cân tại A
b)
Tam giác ABC có đường cao BH và CK cắt nhau tại I ⟹ I là trực tâm của tam giác ABC
⟹ AI$\displaystyle \bot $BC tại M ⟹ $\displaystyle \widehat{IMB} =\widehat{IMC} =90^{0}$
Xét $\displaystyle riangle ABM$ và $\displaystyle riangle ACM$, có:
$\displaystyle \widehat{AMB} =\widehat{AMC} =90^{0}$
AM chung
AB=AC
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Longrightarrow riangle ABM= riangle ACM\ ( ch-cgv)\
\Longrightarrow MB=MC
\end{array}$
Xét $\displaystyle riangle IMB$ và $\displaystyle riangle IMC$, có:
$\displaystyle \widehat{IMB} =\widehat{IMC} =90^{0}$
MB=MC
IM chung
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Longrightarrow riangle IMB= riangle IMC\ ( c-g-c)\
\Longrightarrow \widehat{BIM} =\widehat{CIM}
\end{array}$
⟹ IM là phân giác của $\displaystyle \widehat{BIC}$

Timi · Answer

a) Ta có $\widehat{BAH}=\widehat{CAK}$ (góc ở đỉnh của tam giác cân)
$\widehat{AHB}=\widehat{AKC}=90^{\circ }$ 
Do đó tam giác AKH là tam giác cân.
b) Ta có $\widehat{AIB}=\widehat{AIC}$ (góc ở đỉnh của tam giác cân)
$\widehat{ABI}=\widehat{ACI}$ (góc ở đáy của tam giác cân)
Do đó tam giác ABI và tam giác ACI bằng nhau.
Suy ra BI = CI.
Từ đó tam giác BIC là tam giác cân.
Mà AM là đường cao hạ từ đỉnh của tam giác cân BIC nên AM cũng là tia phân giác của góc BIC.
c) Ta có $\widehat{AHK}=\widehat{ABC}$ (hai góc so le trong)
$\widehat{AKH}=\widehat{ACB}$ (hai góc so le trong)
Do đó HK // BC.