Tính giá trị biểu thức A=1/2.3 + 2/3.5 + 3/5.8 + 4/8.12 + 5/12.17 + 6/17.23 Giải chi tiết

Để tính giá trị biểu thức \( A = \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{2}{3 \cdot 5} + \frac{3}{5 \cdot 8} + \frac{4}{8 \cdot 12} + \frac{5}{12 \cdot 17} + \frac{6}{17 \cdot 23} \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích từng phân số thành hiệu của hai phân số. Nhận thấy rằng mỗi phân số có dạng \(\frac{n}{(n+1)(n+2)}\). Ta có thể viết lại mỗi phân số dưới dạng hiệu của hai phân số như sau: \[ \frac{n}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \] Áp dụng phương pháp này cho từng phân số trong biểu thức: \[ \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \] \[ \frac{2}{3 \cdot 5} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \] \[ \frac{3}{5 \cdot 8} = \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \] \[ \frac{4}{8 \cdot 12} = \frac{1}{8} - \frac{1}{12} \] \[ \frac{5}{12 \cdot 17} = \frac{1}{12} - \frac{1}{17} \] \[ \frac{6}{17 \cdot 23} = \frac{1}{17} - \frac{1}{23} \] Bây giờ, ta thay các phân số này vào biểu thức \(A\): \[ A = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \right) + \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{12} \right) + \left( \frac{1}{12} - \frac{1}{17} \right) + \left( \frac{1}{17} - \frac{1}{23} \right) \] Nhận thấy rằng các phân số ở giữa sẽ triệt tiêu lẫn nhau: \[ A = \frac{1}{2} - \frac{1}{23} \] Cuối cùng, ta tính giá trị của biểu thức: \[ A = \frac{1}{2} - \frac{1}{23} = \frac{23}{46} - \frac{2}{46} = \frac{21}{46} \] Vậy giá trị của biểu thức \(A\) là: \[ A = \frac{21}{46} \]