Bài 4.3. Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BE và CF cắt nhau tại I. a) Chứng minh ΔABE = ΔACF. b) Gọi D là giao điểm của AI và BC. Chứng minh D là trung điểm của đoạn thắng BC và AD vuông...

Bài 4.3. a) Ta có: - AB = AC (ΔABC cân tại A) - ∠BAE = ∠CAF (góc đỉnh chung) - ∠ABE = ∠ACF (BE và CF là các đường phân giác) Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ ba (cạnh kề hai góc), ta có ΔABE = ΔACF. b) Vì ΔABE = ΔACF nên BE = CF. Ta cũng có: - AB = AC (ΔABC cân tại A) - ∠BAI = ∠CAI (AI là đường phân giác) Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ hai (cạnh kề hai góc), ta có ΔABI = ΔACI. Từ đó, ta có BI = CI và ∠BIA = ∠CIA. Vì ∠BIA + ∠CIA = 180° (hai góc kề bù), nên ∠BIA = ∠CIA = 90°. Do đó, AD vuông góc với BC tại D. Mặt khác, vì ΔABI = ΔACI nên BD = CD, tức là D là trung điểm của BC. c) Ta có: - ∠IBC = ∠ICB (vì BI = CI) - ∠IBC = ∠IBD (vì BE là đường phân giác) - ∠ICB = ∠ICD (vì CF là đường phân giác) Do đó, ta có ∠IBD = ∠ICD. Vì IC = 2ID, nên ta có ∠CID = 2∠CBD (tổng các góc trong tam giác). Từ đó, ta có ∠CID = 2∠CBD = 2∠IBD = 2∠ICD, tức là ∠ICD = 60°. Do đó, ta có ∠ABC = 2∠ICD = 120°. Vì ∠ABC = 120°, nên ∠BAC = 60° (tổng các góc trong tam giác). Do đó, ta có ∠BAC = ∠ABC = ∠ACB = 60°, tức là ΔABC là tam giác đều.