giúp tôi giải bài tập này với ạ

Câu 24. Câu hỏi: Tìm đa thức biểu thức sao cho $680 = 88^8 - 58^8 + 88 - 1 \Rightarrow g(8) = -8^3 + 48 - 88^4 + 1$. a) $BUs(x) = g(x)$. b) $g(s) + h(s) = h(s)$. Câu trả lời: a) Để tìm đa thức $g(x)$, ta cần phân tích biểu thức đã cho: \[ 680 = 88^8 - 58^8 + 88 - 1 \] Ta thấy rằng biểu thức này không liên quan trực tiếp đến $g(x)$. Do đó, ta cần tìm hiểu thêm về $g(x)$ từ thông tin khác. Ta có: \[ g(8) = -8^3 + 48 - 88^4 + 1 \] Tuy nhiên, biểu thức này cũng không cung cấp đủ thông tin để xác định $g(x)$ hoàn chỉnh. Vì vậy, ta cần thêm thông tin hoặc giả sử rằng $g(x)$ có dạng đơn giản hơn. Giả sử $g(x) = -x^3 + 48 - 88^4 + 1$, ta có: \[ g(x) = -x^3 + 48 - 88^4 + 1 \] b) Để tìm $g(s) + h(s) = h(s)$, ta cần biết thêm thông tin về $h(s)$. Giả sử $h(s)$ là một đa thức nào đó, ta có: \[ g(s) + h(s) = h(s) \] Điều này có nghĩa là $g(s)$ phải bằng 0. Do đó, ta có: \[ g(s) = 0 \] Vậy, đa thức $g(x)$ có thể là: \[ g(x) = 0 \] Đáp số: a) $g(x) = 0$ b) $g(s) = 0$ Câu 35: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các phép tính đại số theo từng bước một cách chi tiết. a) Tính \( f(x) + g(x) + h(x) \) Bước 1: Viết lại các đa thức \[ f(x) = -8^2 + 3x + 3x^3 - 8^3 + 8 \] \[ g(x) = -3x^3 + 3x^3 - 2x + x^3 + 2x^2 - 6 \] \[ h(x) = 7 - x + 3x^3 - x^3 - 3x^3 - x^3 \] Bước 2: Rút gọn các đa thức \[ f(x) = -64 + 3x + 3x^3 - 512 + 8 = 3x^3 + 3x - 568 \] \[ g(x) = (-3x^3 + 3x^3) + x^3 + 2x^2 - 2x - 6 = x^3 + 2x^2 - 2x - 6 \] \[ h(x) = 7 - x + (3x^3 - x^3 - 3x^3 - x^3) = 7 - x - 2x^3 \] Bước 3: Cộng các đa thức \[ f(x) + g(x) + h(x) = (3x^3 + 3x - 568) + (x^3 + 2x^2 - 2x - 6) + (7 - x - 2x^3) \] Bước 4: Rút gọn kết quả \[ f(x) + g(x) + h(x) = 3x^3 + x^3 - 2x^3 + 2x^2 + 3x - 2x - x - 568 - 6 + 7 \] \[ = 2x^3 + 2x^2 + 0x - 567 \] \[ = 2x^3 + 2x^2 - 567 \] b) Tính \( f(x) + g(x) - h(x) \) Bước 1: Viết lại các đa thức \[ f(x) = 3x^3 + 3x - 568 \] \[ g(x) = x^3 + 2x^2 - 2x - 6 \] \[ h(x) = -2x^3 - x + 7 \] Bước 2: Trừ đa thức \( h(x) \) \[ f(x) + g(x) - h(x) = (3x^3 + 3x - 568) + (x^3 + 2x^2 - 2x - 6) - (-2x^3 - x + 7) \] Bước 3: Rút gọn kết quả \[ f(x) + g(x) - h(x) = 3x^3 + x^3 + 2x^3 + 2x^2 + 3x - 2x + x - 568 - 6 - 7 \] \[ = 6x^3 + 2x^2 + 2x - 581 \] c) Tính \( -f(x) + g(x) + h(x) \) Bước 1: Viết lại các đa thức \[ f(x) = 3x^3 + 3x - 568 \] \[ g(x) = x^3 + 2x^2 - 2x - 6 \] \[ h(x) = -2x^3 - x + 7 \] Bước 2: Nhân \( f(x) \) với \(-1\) \[ -f(x) = -(3x^3 + 3x - 568) = -3x^3 - 3x + 568 \] Bước 3: Cộng các đa thức \[ -f(x) + g(x) + h(x) = (-3x^3 - 3x + 568) + (x^3 + 2x^2 - 2x - 6) + (-2x^3 - x + 7) \] Bước 4: Rút gọn kết quả \[ -f(x) + g(x) + h(x) = -3x^3 + x^3 - 2x^3 + 2x^2 - 3x - 2x - x + 568 - 6 + 7 \] \[ = -4x^3 + 2x^2 - 6x + 569 \] Đáp số: a) \( f(x) + g(x) + h(x) = 2x^3 + 2x^2 - 567 \) b) \( f(x) + g(x) - h(x) = 6x^3 + 2x^2 + 2x - 581 \) c) \( -f(x) + g(x) + h(x) = -4x^3 + 2x^2 - 6x + 569 \) Câu 26. a) $\frac{1}{4}.(\frac{1}{2}x^{2})(-\frac{4}{8}x^{2})$ $=\frac{1}{4}.(\frac{1}{2}x^{2}).(-\frac{1}{2}x^{2})$ (Rút gọn phân số) $=\frac{1}{4}.(-\frac{1}{4}x^{4})$ (Nhân các hệ số và cộng các số mũ của biến) $=-\frac{1}{16}x^{4}$ (Nhân các hệ số) b) $-2x(x^{2}-5x-1)$ $=-2x.x^{2}+(-2x).(-5x)+(-2x).(-1)$ (Phân phối nhân vào từng hạng tử trong ngoặc) $=-2x^{3}+10x^{2}+2x$ (Nhân các hệ số và cộng các số mũ của biến) c) $(x^{2}-2x+3)(\frac{1}{2}x-5)$ $=x^{2}.(\frac{1}{2}x)+x^{2}.(-5)+(-2x).(\frac{1}{2}x)+(-2x).(-5)+3.(\frac{1}{2}x)+3.(-5)$ (Phân phối nhân vào từng hạng tử trong ngoặc) $=\frac{1}{2}x^{3}-5x^{2}-x^{2}+10x+\frac{3}{2}x-15$ (Nhân các hệ số và cộng các số mũ của biến) $=\frac{1}{2}x^{3}-6x^{2}+\frac{23}{2}x-15$ (Gộp các hạng tử đồng dạng) d) $(2x-1)(3x+2)(3-x)$ $=(2x-1)[(3x+2)(3-x)]$ (Nhân từng cặp biểu thức trước) $=(2x-1)[3x.(3-x)+2.(3-x)]$ (Phân phối nhân vào từng hạng tử trong ngoặc) $=(2x-1)[9x-3x^{2}+6-2x]$ (Nhân các hệ số và cộng các số mũ của biến) $=(2x-1)(-3x^{2}+7x+6)$ (Gộp các hạng tử đồng dạng) $=2x.(-3x^{2})+2x.7x+2x.6+(-1).(-3x^{2})+(-1).7x+(-1).6$ (Phân phối nhân vào từng hạng tử trong ngoặc) $=-6x^{3}+14x^{2}+12x+3x^{2}-7x-6$ (Nhân các hệ số và cộng các số mũ của biến) $=-6x^{3}+17x^{2}+5x-6$ (Gộp các hạng tử đồng dạng) Đáp số: a) $-\frac{1}{16}x^{4}$ b) $-2x^{3}+10x^{2}+2x$ c) $\frac{1}{2}x^{3}-6x^{2}+\frac{23}{2}x-15$ d) $-6x^{3}+17x^{2}+5x-6$ Câu 27. a) Thực hiện phép chia $(2x^4+2x^3+3x^2-5x-20):(x^3+x+4)$: 2x + 2 ___________ x^3 + x + 4 | 2x^4 + 2x^3 + 3x^2 - 5x - 20 - (2x^4 + 2x^2 + 8x) _______________________ 0 + x^2 - 13x - 20 - (x^2 + x + 4) ____________________ -14x - 24 Vậy thương là $2x + 2$, dư là $-14x - 24$. b) Thực hiện phép chia $(2x^3-3x^2+12x+3):(2x-1)$: x^2 - x + 5 _______________ 2x - 1 | 2x^3 - 3x^2 + 12x + 3 - (2x^3 - x^2) _______________ -2x^2 + 12x + 3 - (-2x^2 + x) _______________ 11x + 3 - (11x - 5) ___________ 8 Vậy thương là $x^2 - x + 5$, dư là $8$. c) Thực hiện phép chia $(6x^3-7x^2-x+2):(2x+1)$: 3x^2 - 5x + 2 _______________ 2x + 1 | 6x^3 - 7x^2 - x + 2 - (6x^3 + 3x^2) _______________ -10x^2 - x + 2 - (-10x^2 - 5x) _______________ 4x + 2 - (4x + 2) _________ 0 Vậy thương là $3x^2 - 5x + 2$, dư là $0$. Câu 28. Để chứng minh rằng $x = -1$ và $x = \frac{1}{3}$ là hai nghiệm của đa thức $t(x) = 3x^2 + 2x - 1$, ta thay lần lượt các giá trị này vào biểu thức $t(x)$ và kiểm tra xem kết quả có bằng 0 hay không. 1. Thay $x = -1$ vào $t(x)$: \[ t(-1) = 3(-1)^2 + 2(-1) - 1 \] \[ t(-1) = 3(1) + 2(-1) - 1 \] \[ t(-1) = 3 - 2 - 1 \] \[ t(-1) = 0 \] Vậy $x = -1$ là nghiệm của đa thức $t(x)$. 2. Thay $x = \frac{1}{3}$ vào $t(x)$: \[ t\left(\frac{1}{3}\right) = 3\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 2\left(\frac{1}{3}\right) - 1 \] \[ t\left(\frac{1}{3}\right) = 3\left(\frac{1}{9}\right) + \frac{2}{3} - 1 \] \[ t\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{3}{9} + \frac{2}{3} - 1 \] \[ t\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} - 1 \] \[ t\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1 + 2}{3} - 1 \] \[ t\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{3}{3} - 1 \] \[ t\left(\frac{1}{3}\right) = 1 - 1 \] \[ t\left(\frac{1}{3}\right) = 0 \] Vậy $x = \frac{1}{3}$ cũng là nghiệm của đa thức $t(x)$. Từ đó, ta đã chứng minh được rằng $x = -1$ và $x = \frac{1}{3}$ là hai nghiệm của đa thức $t(x)$. Câu 29. a) Ta có: $f(x)=-3x+\frac{1}{2}$ Để tìm nghiệm của đa thức $f(x)$, ta cần giải phương trình $f(x) = 0$: $-3x + \frac{1}{2} = 0$ $-3x = -\frac{1}{2}$ $x = \frac{1}{6}$ Vậy nghiệm của đa thức $f(x)$ là $x = \frac{1}{6}$. b) Ta có: $f(x) = x^2 + 5x$ Để tìm nghiệm của đa thức $f(x)$, ta cần giải phương trình $f(x) = 0$: $x^2 + 5x = 0$ $x(x + 5) = 0$ $x = 0$ hoặc $x + 5 = 0$ $x = 0$ hoặc $x = -5$ Vậy nghiệm của đa thức $f(x)$ là $x = 0$ và $x = -5$. c) Ta có: $f(x) = \frac{-1}{2}x + \frac{3}{4}x + 1$ Để tìm nghiệm của đa thức $f(x)$, ta cần giải phương trình $f(x) = 0$: $\frac{-1}{2}x + \frac{3}{4}x + 1 = 0$ $\frac{-2}{4}x + \frac{3}{4}x + 1 = 0$ $\frac{1}{4}x + 1 = 0$ $\frac{1}{4}x = -1$ $x = -4$ Vậy nghiệm của đa thức $f(x)$ là $x = -4$. d) Ta có: $f(x) = x^2 - \frac{1}{4}$ Để tìm nghiệm của đa thức $f(x)$, ta cần giải phương trình $f(x) = 0$: $x^2 - \frac{1}{4} = 0$ $(x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{2}) = 0$ $x - \frac{1}{2} = 0$ hoặc $x + \frac{1}{2} = 0$ $x = \frac{1}{2}$ hoặc $x = -\frac{1}{2}$ Vậy nghiệm của đa thức $f(x)$ là $x = \frac{1}{2}$ và $x = -\frac{1}{2}$. e) Ta có: $f(x) = 2x^2 + 3$ Để tìm nghiệm của đa thức $f(x)$, ta cần giải phương trình $f(x) = 0$: $2x^2 + 3 = 0$ $2x^2 = -3$ $x^2 = -\frac{3}{2}$ Phương trình này vô nghiệm vì $x^2$ không thể âm. Vậy đa thức $f(x)$ không có nghiệm. Câu 30. a) Ta có $a+b+c=0$ Suy ra $c=-(a+b)$ Thay vào $f(x)$ ta được: $f(x)=ax^2+bx-(a+b)$ $f(1)=a\times 1^2+b\times 1-(a+b)=a+b-a-b=0$ Vậy $x=1$ là nghiệm của đa thức $f(x).$ b) Ta có $a-b+c=0$ Suy ra $c=b-a$ Thay vào $f(x)$ ta được: $f(x)=ax^2+bx+(b-a)$ $f(-1)=a\times (-1)^2+b\times (-1)+(b-a)=a-b+b-a=0$ Vậy $x=-1$ là nghiệm của đa thức $f(x).$ Câu 31. Trước tiên, ta biết rằng tổng các góc trong một tam giác bằng $180^\circ$. Do đó, ta có: \[ \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ - \widehat{A} = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ \] Hai tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại I, tạo thành tam giác IBC. Ta cần tính góc BIC. Trong tam giác IBC, ta có: \[ \widehat{IBC} = \frac{\widehat{B}}{2}, \quad \widehat{ICB} = \frac{\widehat{C}}{2} \] Tổng các góc trong tam giác IBC cũng bằng $180^\circ$, do đó: \[ \widehat{BIC} = 180^\circ - (\widehat{IBC} + \widehat{ICB}) = 180^\circ - \left( \frac{\widehat{B}}{2} + \frac{\widehat{C}}{2} \right) \] Thay $\widehat{B} + \widehat{C} = 115^\circ$ vào, ta có: \[ \widehat{BIC} = 180^\circ - \frac{115^\circ}{2} = 180^\circ - 57.5^\circ = 122.5^\circ \] Vậy, góc BIC là $122.5^\circ$. Câu 32. a) Ta có: $\widehat{AMB}=\widehat{AMN}$ (vì AM là phân giác của góc BAC) Mà AB = AN (theo đầu bài) nên $\Delta ABM=\Delta ANM$ (cạnh kề 2 góc bằng nhau) Suy ra: MB = MN b) Ta có: $\widehat{ABM}=\widehat{AMN}$ (2 góc so le trong) Mà MB = MN (chứng minh trên) nên $\Delta MBK=\Delta MNC$ (cạnh kề 2 góc bằng nhau) c) Ta có: $\widehat{AMB}=\widehat{AMN}$ (vì AM là phân giác của góc BAC) Mà MB = MN (chứng minh trên) nên $\Delta AMB=\Delta AMN$ (cạnh kề 2 góc bằng nhau) Suy ra: $\widehat{AMB}=\widehat{AMN}=90^{\circ}$ Mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^{\circ}$ (2 góc kề bù) nên $\widehat{AMC}=90^{\circ}$ Suy ra: $\widehat{AMC}=\widehat{AMN}=90^{\circ}$ Do đó: $AM\perp KC$ Ta lại có: $\widehat{ABM}=\widehat{AMN}$ (2 góc so le trong) Mà $\widehat{AMN}=\widehat{AMC}=90^{\circ}$ nên $\widehat{ABM}=\widehat{AMC}=90^{\circ}$ Suy ra: $BN\perp AM$ Mà $AM\perp KC$ nên BN // KC d) Ta có: $AC-AB=CN$ (vì AN = AB) Mà $CN>CM-MB$ (vì MB = MN) nên $AC-AB>MC-MB$ Câu 33. a) Ta có: $\widehat{BDA}=\widehat{BAD}=\widehat{C}+\widehat{CAH}$ (góc ngoài tam giác) $\widehat{CAD}=\widehat{C}+\widehat{CAH}$ Vậy tia AD là tia phân giác của $\widehat{HAC}.$ b) Ta có: $\widehat{ADK}=\widehat{ADH}=90^{\circ}-\widehat{DAK}$ $\widehat{AKD}=\widehat{AHD}=90^{\circ}-\widehat{DAK}$ Xét $\Delta AKD$ và $\Delta AHD:$ $\widehat{AKD}=\widehat{AHD};$ $\widehat{ADK}=\widehat{ADH};$ $AD$ chung Vậy $\Delta AKD=\Delta AHD(cạnh kề 2 góc).$ Suy ra: $AK=AH.$ c) Ta có: $AB+AC=BD+AC>CD+AC>CD+CK=DK=AH+BC$