Giúp mình với!

Bài 10: Gọi tuổi bố hiện nay là \( 2,4x \) (tuổi) và tuổi con hiện nay là \( x \) (tuổi). 5 năm trước, tuổi bố là \( 2,4x - 5 \) (tuổi) và tuổi con là \( x - 5 \) (tuổi). Theo đề bài, ta có: \[ 2,4x - 5 = \frac{11}{4}(x - 5) \] Bây giờ, ta sẽ giải phương trình này: \[ 2,4x - 5 = \frac{11}{4}(x - 5) \] Nhân cả hai vế với 4 để loại bỏ phân số: \[ 4(2,4x - 5) = 11(x - 5) \] \[ 9,6x - 20 = 11x - 55 \] Di chuyển các hạng tử liên quan đến \( x \) sang một vế và các hằng số sang vế còn lại: \[ 9,6x - 11x = -55 + 20 \] \[ -1,4x = -35 \] Chia cả hai vế cho -1,4: \[ x = \frac{-35}{-1,4} \] \[ x = 25 \] Vậy tuổi con hiện nay là 25 tuổi. Tuổi bố hiện nay là: \[ 2,4 \times 25 = 60 \text{ (tuổi)} \] Đáp số: Tuổi bố hiện nay là 60 tuổi, tuổi con hiện nay là 25 tuổi. Bài 1: Ta có tỉ số $\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC}=\frac{3}{5}$ Gọi AB là 3 phần thì BC là 5 phần. Ta có: $AB+BC=8+10=18(cm)$ Tổng số phần bằng nhau là: $3+5=8$ (phần) AB là: $18:8\times 3=6,75(cm)$ BC là: $18-6,75=11,25(cm)$ Đáp số: $AB=6,75~cm;BC=11,25~cm$ Bài 2: Để chứng minh các khẳng định trên, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một cách chi tiết. Phần a) Chứng minh $\frac{BE}{ED} = \frac{AF}{FC}$ 1. Xác định các đường phân giác: - Gọi đường phân giác của góc A cắt BD tại E. - Gọi đường phân giác của góc B cắt AC tại F. 2. Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác: - Trong tam giác ABD, đường phân giác của góc A cắt BD tại E. Theo tính chất đường phân giác, ta có: \[ \frac{BE}{ED} = \frac{AB}{AD} \] - Trong tam giác ABC, đường phân giác của góc B cắt AC tại F. Theo tính chất đường phân giác, ta có: \[ \frac{AF}{FC} = \frac{AB}{BC} \] 3. So sánh các tỷ lệ: - Vì ABCD là hình bình hành, nên AB = CD và AD = BC. - Do đó, ta có: \[ \frac{AB}{AD} = \frac{AB}{BC} \] - Từ đây, ta suy ra: \[ \frac{BE}{ED} = \frac{AF}{FC} \] Phần b) Chứng minh EF // AB 1. Xét tam giác ABE và tam giác CDF: - Ta đã biết $\frac{BE}{ED} = \frac{AF}{FC}$. - Vì ABCD là hình bình hành, nên AB // CD và AD // BC. 2. Áp dụng định lý Thales: - Theo định lý Thales, nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì các đoạn thẳng trên đường thẳng thứ ba tỉ lệ với các đoạn thẳng trên hai đường thẳng song song. - Do đó, ta có: \[ \frac{BE}{ED} = \frac{AF}{FC} \] - Điều này cho thấy EF chia các đoạn thẳng BE và ED, AF và FC theo cùng một tỷ lệ. 3. Kết luận: - Vì EF chia các đoạn thẳng BE và ED, AF và FC theo cùng một tỷ lệ, nên theo định lý đảo của Thales, ta có EF // AB. Đáp số: a) $\frac{BE}{ED} = \frac{AF}{FC}$ b) EF // AB Bài 3: a) Ta có $BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$ Ta có $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}$ Suy ra $DB=\frac{3}{7}\times 5=\frac{15}{7},DC=\frac{4}{7}\times 5=\frac{20}{7}$ b) Diện tích tam giác ABC là $\frac{1}{2}\times AB\times AC=\frac{1}{2}\times 3\times 4=6$ Diện tích tam giác ABD là $\frac{1}{2}\times AB\times DB=\frac{1}{2}\times 3\times \frac{15}{7}=\frac{45}{14}$ Diện tích tam giác ADC là $6-\frac{45}{14}=\frac{33}{14}$ Khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng AC là $\frac{2\times \frac{33}{14}}{4}=\frac{33}{28}$ c) Diện tích tam giác ABD là $\frac{1}{2}\times AB\times DB=\frac{1}{2}\times 3\times \frac{15}{7}=\frac{45}{14}$ Độ dài đường phân giác AD là $\frac{2\times \frac{45}{14}}{3}=\frac{15}{7}$ Bài 4: a) Ta có $\angle BAC=\angle BHA=90^\circ$. $\angle ABH=\angle CBA$ (góc chung) Do đó $\Delta ABC\backsim\Delta HBA$ (g.g) Từ đó ta có tỉ lệ thức $\frac{AB}{BC}=\frac{BH}{AB}\Rightarrow AB^2=BH.BC$ b) Ta có $\angle BAC=\angle AHC=90^\circ$. $\angle ACB=\angle HCA$ (góc chung) Do đó $\Delta ABC\backsim\Delta HCA$ (g.g) Từ đó ta có tỉ lệ thức $\frac{AC}{BC}=\frac{CH}{AC}\Rightarrow AC^2=CH.BC$ c) Ta có $\angle BAC=\angle AHC=90^\circ$. $\angle BCA=\angle HCA$ (góc chung) Do đó $\Delta ABC\backsim\Delta HCA$ (g.g) Từ đó ta có tỉ lệ thức $\frac{AH}{AC}=\frac{BH}{AH}\Rightarrow AH^2=BH.HC$ d) Ta có $\angle BAC=\angle AHC=90^\circ$. $\angle BCA=\angle HCA$ (góc chung) Do đó $\Delta ABC\backsim\Delta HCA$ (g.g) Từ đó ta có tỉ lệ thức $\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{AH}\Rightarrow AH.BC=AB.AC$ Bài 5: a) Ta có $\angle BAI=\angle CAE$ (hai góc so le trong) $\angle AIB=\angle AEC=90^\circ$ Do đó $\Delta AIB$ đồng dạng $\Delta AEC$ (g-g) b) Ta có $\Delta AIB$ đồng dạng $\Delta AEC$ (chứng minh trên) $\Rightarrow \frac{AI}{AE}=\frac{AB}{AC}$ $\Rightarrow AI\times AC=AE\times AB$ (1) Ta có $\angle AIB=\angle CFI=90^\circ$ $\angle IAB=\angle ICF$ (hai góc so le trong) Do đó $\Delta AIB$ đồng dạng $\Delta CFI$ (g-g) $\Rightarrow \frac{CI}{AB}=\frac{CF}{AI}$ $\Rightarrow CI\times AI=AB\times CF$ (2) Từ (1) và (2) ta có $AI\times AC=AE\times AB=CI\times AI$ $\Rightarrow AC=AE\times \frac{AB}{AI}=CI\times \frac{AI}{AB}$ Mặt khác ta có $\angle AEB=\angle CFB=90^\circ$ $\angle EAB=\angle FCB$ (hai góc so le trong) Do đó $\Delta AEB$ đồng dạng $\Delta CFB$ (g-g) $\Rightarrow \frac{AE}{CF}=\frac{AB}{BC}$ $\Rightarrow AE\times BC=CF\times AB$ $\Rightarrow AE\times \frac{AB}{AI}\times BC=CF\times AB\times \frac{CI}{AB}$ $\Rightarrow AC\times BC=CF\times CI$ $\Rightarrow AF\times BC=CI\times CA$ c) Ta có $AB.AE+AF.BC=AB.AE+CI.CA$ $=AB.AE+AE\times AB=2AB.AE$ $=2AB\times \frac{AE}{AB}\times AB$ $=2AB\times \frac{AC}{AB}\times AB$ $=2AC\times AB$ $=AC\times AC$ $=AC^2$ Bài 6: a) Ta có $\angle BAC=\angle BHA=90^{\circ}$ $\angle ABH=\angle CBA$ (chung) $\Rightarrow \Delta ABH\sim \Delta CBA$ (g-g) b) Ta có $\Delta ABH\sim \Delta CBA$ (chứng minh trên) $\Rightarrow \frac{AB}{CB}=\frac{BH}{BA}\Rightarrow AB^{2}=CB.BH$ $\Rightarrow AB=\sqrt{CB.BH}=\sqrt{11\times 4}=2\sqrt{11}(cm)$ c) Ta có $\angle BAC=\angle BHA=90^{\circ}$ $\Rightarrow \angle CAH+\angle BAH=90^{\circ}$ Mà $\angle FHE=90^{\circ}\Rightarrow \angle FHC+\angle BAH=90^{\circ}$ $\Rightarrow \angle CAH=\angle FHC$ Xét $\Delta AEH$ và $\Delta CFH$ có: $\angle CAH=\angle FHC$ (chứng minh trên) $\angle AHE=\angle CHF$ (đối đỉnh) $\Rightarrow \Delta AEH\backsim \Delta CFH$ (g-g) $\Rightarrow \frac{AE}{CH}=\frac{AH}{FC}\Rightarrow AE.FC=AH.CH$