Giup mình với

Câu 1: Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$, ta thực hiện phép cộng từng thành phần của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ là $(3; -4)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{b}$ là $(-1; 2)$. Phép cộng từng thành phần: - Thành phần thứ nhất: $3 + (-1) = 2$ - Thành phần thứ hai: $-4 + 2 = -2$ Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ là $(2; -2)$. Đáp án đúng là: $\textcircled{B.}~(2; -2)$. Câu 2: Trong hệ tọa độ $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$, ta biết rằng: - Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{i}$ là $(1, 0)$. - Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{j}$ là $(0, 1)$. Để tính tọa độ của vectơ $\overrightarrow{i} - \overrightarrow{j}$, ta thực hiện phép trừ hai vectơ theo từng thành phần: - Thành phần x của $\overrightarrow{i} - \overrightarrow{j}$ là $1 - 0 = 1$. - Thành phần y của $\overrightarrow{i} - \overrightarrow{j}$ là $0 - 1 = -1$. Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{i} - \overrightarrow{j}$ là $(1, -1)$. Do đó, đáp án đúng là: $\textcircled{A.}~(1;-1).$ Đáp số: $\textcircled{A.}~(1;-1).$ Câu 3: Để tính tọa độ của vectơ $\overrightarrow a - \overrightarrow b$, ta thực hiện phép trừ từng thành phần tương ứng của hai vectơ. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow a$ là $(-1; 2)$ và tọa độ của vectơ $\overrightarrow b$ là $(5; -7)$. Ta có: \[ \overrightarrow a - \overrightarrow b = (-1; 2) - (5; -7) \] Thực hiện phép trừ từng thành phần: \[ \overrightarrow a - \overrightarrow b = (-1 - 5; 2 - (-7)) = (-1 - 5; 2 + 7) = (-6; 9) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow a - \overrightarrow b$ là $(-6; 9)$. Đáp án đúng là: $\textcircled{B.}~(-6; 9)$. Câu 4: Để tìm tọa độ của $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của $2\overrightarrow{b}$: \[ 2\overrightarrow{b} = 2(-3, -2) = (-6, -4) \] 2. Tính $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}$: \[ \overrightarrow{c} = (-4, 1) - (-6, -4) = (-4 + 6, 1 + 4) = (2, 5) \] Vậy tọa độ của $\overrightarrow{c}$ là $(2, 5)$. Đáp án đúng là: $\textcircled{B.}~\overrightarrow{c} = (2, 5)$. Câu 5: Để tìm trọng tâm G của tam giác OAB, ta sử dụng công thức tính tọa độ trọng tâm của một tam giác. Trọng tâm G của tam giác OAB có tọa độ được tính theo công thức: \[ G\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right) \] Trong đó, \(O(0,0)\), \(A(4,2)\), và \(B(1,-5)\). Áp dụng công thức trên, ta có: \[ G\left( \frac{0 + 4 + 1}{3}, \frac{0 + 2 - 5}{3} \right) \] Tính toán cụ thể: \[ G\left( \frac{5}{3}, \frac{-3}{3} \right) \] \[ G\left( \frac{5}{3}, -1 \right) \] Vậy trọng tâm G của tam giác OAB là \( G\left( \frac{5}{3}, -1 \right) \). Do đó, đáp án đúng là: \[ \textcircled{A.}~G\left( \frac{5}{3}, -1 \right) \] Câu 6: Để tìm tọa độ trung điểm \( I \) của đoạn thẳng \( AB \), ta sử dụng công thức tính tọa độ trung điểm của hai điểm \( A(x_1, y_1) \) và \( B(x_2, y_2) \): \[ I\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \] Trong đó: - \( A(3, 5) \) có \( x_1 = 3 \) và \( y_1 = 5 \) - \( B(1, 2) \) có \( x_2 = 1 \) và \( y_2 = 2 \) Áp dụng công thức trên: \[ I\left(\frac{3 + 1}{2}, \frac{5 + 2}{2}\right) \] Tính toán từng thành phần: \[ I\left(\frac{4}{2}, \frac{7}{2}\right) \] \[ I\left(2, \frac{7}{2}\right) \] Vậy tọa độ trung điểm \( I \) của đoạn thẳng \( AB \) là \( I\left(2, \frac{7}{2}\right) \). Do đó, đáp án đúng là: \[ \textcircled{C.}~I\left(2, \frac{7}{2}\right) \] Câu 7: Trọng tâm G của tam giác ABC chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2 : 1. Ta có công thức tính tọa độ trọng tâm G như sau: \[ G\left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right) \] Biết rằng \( A(-3;6) \), \( B(9;-10) \), và \( G\left( \frac{1}{3};0 \right) \). Áp dụng công thức trên, ta có: \[ \frac{-3 + 9 + x_C}{3} = \frac{1}{3} \] \[ \frac{6 - 10 + y_C}{3} = 0 \] Giải phương trình đầu tiên: \[ \frac{6 + x_C}{3} = \frac{1}{3} \] Nhân cả hai vế với 3: \[ 6 + x_C = 1 \] \[ x_C = 1 - 6 \] \[ x_C = -5 \] Giải phương trình thứ hai: \[ \frac{-4 + y_C}{3} = 0 \] Nhân cả hai vế với 3: \[ -4 + y_C = 0 \] \[ y_C = 4 \] Vậy tọa độ của điểm C là \( (-5; 4) \). Đáp án đúng là: \( C.~C(-5;4) \). Câu 8: Để tìm tọa độ đỉnh A của tam giác ABC, ta sẽ sử dụng tính chất của trung điểm và tọa độ của các điểm M, N, P đã cho. 1. Tìm tọa độ của B và C: - Vì M là trung điểm của BC, ta có: \[ M = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} \right) \] Thay tọa độ của M vào: \[ (2, 3) = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} \right) \] Từ đây, ta có hai phương trình: \[ \frac{x_B + x_C}{2} = 2 \quad \Rightarrow \quad x_B + x_C = 4 \] \[ \frac{y_B + y_C}{2} = 3 \quad \Rightarrow \quad y_B + y_C = 6 \] - Vì N là trung điểm của CA, ta có: \[ N = \left( \frac{x_C + x_A}{2}, \frac{y_C + y_A}{2} \right) \] Thay tọa độ của N vào: \[ (0, -4) = \left( \frac{x_C + x_A}{2}, \frac{y_C + y_A}{2} \right) \] Từ đây, ta có hai phương trình: \[ \frac{x_C + x_A}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad x_C + x_A = 0 \] \[ \frac{y_C + y_A}{2} = -4 \quad \Rightarrow \quad y_C + y_A = -8 \] - Vì P là trung điểm của AB, ta có: \[ P = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) \] Thay tọa độ của P vào: \[ (-1, 6) = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) \] Từ đây, ta có hai phương trình: \[ \frac{x_A + x_B}{2} = -1 \quad \Rightarrow \quad x_A + x_B = -2 \] \[ \frac{y_A + y_B}{2} = 6 \quad \Rightarrow \quad y_A + y_B = 12 \] 2. Giải hệ phương trình: Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} x_B + x_C = 4 \\ x_C + x_A = 0 \\ x_A + x_B = -2 \end{cases} \] \[ \begin{cases} y_B + y_C = 6 \\ y_C + y_A = -8 \\ y_A + y_B = 12 \end{cases} \] Giải hệ phương trình đầu tiên: - Từ \(x_C + x_A = 0\), ta có \(x_C = -x_A\). - Thay vào \(x_B + x_C = 4\): \[ x_B - x_A = 4 \] - Thay vào \(x_A + x_B = -2\): \[ x_A + (x_A + 4) = -2 \quad \Rightarrow \quad 2x_A + 4 = -2 \quad \Rightarrow \quad 2x_A = -6 \quad \Rightarrow \quad x_A = -3 \] - Thay \(x_A = -3\) vào \(x_C = -x_A\): \[ x_C = 3 \] - Thay \(x_A = -3\) vào \(x_B - x_A = 4\): \[ x_B - (-3) = 4 \quad \Rightarrow \quad x_B = 1 \] Giải hệ phương trình thứ hai: - Từ \(y_C + y_A = -8\), ta có \(y_C = -8 - y_A\). - Thay vào \(y_B + y_C = 6\): \[ y_B - 8 - y_A = 6 \quad \Rightarrow \quad y_B - y_A = 14 \] - Thay vào \(y_A + y_B = 12\): \[ y_A + (y_A + 14) = 12 \quad \Rightarrow \quad 2y_A + 14 = 12 \quad \Rightarrow \quad 2y_A = -2 \quad \Rightarrow \quad y_A = -1 \] - Thay \(y_A = -1\) vào \(y_C = -8 - y_A\): \[ y_C = -8 - (-1) = -7 \] - Thay \(y_A = -1\) vào \(y_B - y_A = 14\): \[ y_B - (-1) = 14 \quad \Rightarrow \quad y_B = 13 \] 3. Kết luận: Tọa độ đỉnh A là \((-3, -1)\). Đáp án đúng là: \(\textcircled{B.}~(-3, -1)\). Câu 9: Để xác định tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ từ biểu thức $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j}$, ta làm như sau: 1. Xác định tọa độ của các vectơ đơn vị: - Vectơ đơn vị $\overrightarrow{i}$ có tọa độ $(1, 0)$. - Vectơ đơn vị $\overrightarrow{j}$ có tọa độ $(0, 1)$. 2. Nhân các vectơ đơn vị với các hệ số tương ứng: - $2\overrightarrow{i} = 2 \times (1, 0) = (2, 0)$. - $-3\overrightarrow{j} = -3 \times (0, 1) = (0, -3)$. 3. Cộng các vectơ đã nhân hệ số: - $\overrightarrow{a} = (2, 0) + (0, -3) = (2 + 0, 0 - 3) = (2, -3)$. Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ là $(2, -3)$. Do đó, đáp án đúng là: $\textcircled{D.}~\overrightarrow a=(2;-3).$ Câu 10: Để tính độ dài đoạn thẳng AB, ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ. Công thức khoảng cách giữa hai điểm \( A(x_1, y_1) \) và \( B(x_2, y_2) \) là: \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Áp dụng vào bài toán: - Điểm \( A \) có tọa độ \( (1, -3) \) - Điểm \( B \) có tọa độ \( (4, -7) \) Thay vào công thức: \[ AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (-7 - (-3))^2} \] \[ AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (-7 + 3)^2} \] \[ AB = \sqrt{3^2 + (-4)^2} \] \[ AB = \sqrt{9 + 16} \] \[ AB = \sqrt{25} \] \[ AB = 5 \] Vậy độ dài đoạn thẳng AB là 5. Đáp án đúng là: D. 5. Câu 11: Để tìm khẳng định đúng về hai vectơ $\overrightarrow{u} = (1; 3)$ và $\overrightarrow{v} = (2; 6)$, ta sẽ kiểm tra xem chúng có cùng phương hay không. Hai vectơ $\overrightarrow{u} = (u_1; u_2)$ và $\overrightarrow{v} = (v_1; v_2)$ cùng phương nếu tồn tại một số thực $k$ sao cho: \[ \overrightarrow{v} = k \cdot \overrightarrow{u} \] Ta có: \[ \overrightarrow{u} = (1; 3) \] \[ \overrightarrow{v} = (2; 6) \] Kiểm tra xem liệu có tồn tại số thực $k$ sao cho: \[ (2; 6) = k \cdot (1; 3) \] Điều này tương đương với: \[ 2 = k \cdot 1 \] \[ 6 = k \cdot 3 \] Từ phương trình đầu tiên, ta có: \[ k = 2 \] Thay $k = 2$ vào phương trình thứ hai: \[ 6 = 2 \cdot 3 \] \[ 6 = 6 \] Phương trình này đúng, do đó hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ cùng phương. Kết luận: Hai vectơ $\overrightarrow{u} = (1; 3)$ và $\overrightarrow{v} = (2; 6)$ cùng phương.